Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — FCC 2025

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
fc149924
Banca
FCC
Órgão
CBM AP
Ano
2025
Cargo
Of ( )
Em um auditório, ás 8h, à razão entre os números de oficiais é professores presentes era igual à 2/5. Durante os próximos 30 minutos chegaram ao auditório mais 89 oficiais é 21 professores, de maneira que às 8h30 à razão indicada passou à ser igual a 11/12. O número de oficiais nesse auditório às 8h era igual a
  1. A78,
  2. B54.
  3. C60.
  4. D68.
  5. E72.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 54.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 54 oficiais — alternativa B.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão. Quando dizemos que a razão entre oficiais e professores é 2/5, significa que, para cada 2 oficiais, há 5 professores. É uma forma de expressar a proporção entre as quantidades, sem precisar saber os valores absolutos.

Quando duas razões são iguais, formam uma proporção, e podemos multiplicar cruzado: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Essa propriedade transforma a razão em uma equação algébrica. Quando a razão muda após acréscimos, montamos uma segunda equação com os novos valores, e o sistema resultante nos dá as quantidades iniciais.

Esta questão apresenta duas razões em momentos diferentes: antes e depois da chegada de pessoas. Precisamos transformar cada razão em uma equação e resolver o sistema para descobrir o número inicial de oficiais.

O que a questão dá

  • razão inicial oficiais/professores = 2/5

  • chegaram 89 oficiais e 21 professores

  • razão final oficiais/professores = 11/12

O que queremos: o número de oficiais no auditório às 8h

Passo 1 — Montar a equação da razão inicial

A primeira informação do enunciado é a razão entre oficiais e professores às 8h. Precisamos transformá-la em uma equação que relacione as duas quantidades desconhecidas, para podermos trabalhar com elas algebricamente.

Por que esta fórmula: A razão é uma divisão, então escrevemos O/P = 2/5. Multiplicando cruzado, obtemos uma equação sem frações, mais fácil de usar depois.

OP=25⇒5O=2P\frac{O}{P} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5O = 2P

De onde vem cada valor: OO = definição: número de oficiais às 8h · PP = definição: número de professores às 8h · 2/52/5 = enunciado: razão inicial

5O=2P5O = 2P
5O=2 P5O = \boxed{2\ \text{P}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo P/O = 2/5, o que leva a um sistema errado.

Passo 2 — Montar a equação da razão final

Após a chegada de 89 oficiais e 21 professores, a razão muda. Precisamos expressar essa nova situação em uma segunda equação, que junto com a primeira formará o sistema.

Por que esta fórmula: Os novos números são O+89 e P+21, e a razão entre eles é 11/12. Multiplicando cruzado, obtemos uma equação linear.

O+89P+21=1112⇒12(O+89)=11(P+21)\frac{O + 89}{P + 21} = \frac{11}{12} \Rightarrow 12(O + 89) = 11(P + 21)

De onde vem cada valor: O+89O + 89 = definição: oficiais após a chegada (O inicial + 89) · P+21P + 21 = definição: professores após a chegada (P inicial + 21) · 11/1211/12 = enunciado: razão final

12(O+89)=11(P+21)12(O + 89) = 11(P + 21)
12O+1068=11 P+23112O + 1068 = \boxed{11\ \text{P} + 231}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os acréscimos antes de montar a razão, usando O e P diretamente.

Passo 3 — Simplificar a segunda equação

A equação do passo anterior tem termos com parênteses. Precisamos distribuí-los e organizar os termos para deixar a equação pronta para o sistema.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva e depois movemos os termos para isolar as incógnitas de um lado.

12O+1068=11P+231⇒12O−11P=231−106812O + 1068 = 11P + 231 \Rightarrow 12O - 11P = 231 - 1068

De onde vem cada valor: 12O12O = passo 2: 12·O · 10681068 = passo 2: 12·89 · 11P11P = passo 2: 11·P · 231231 = passo 2: 11·21

12O−11P=−83712O - 11P = -837
12O−11P=−83712O - 11P = \boxed{-837}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover os termos, por exemplo, escrever 12O - 11P = 1068 - 231.

Passo 4 — Isolar uma incógnita na primeira equação

Temos um sistema com duas equações e duas incógnitas. Para resolver, precisamos expressar uma incógnita em função da outra e substituir na segunda equação.

Por que esta fórmula: Da equação 5O = 2P, isolamos P dividindo ambos os lados por 2.

P=5O2P = \frac{5O}{2}

De onde vem cada valor: 5O5O = passo 1: 5O = 2P · 22 = constante: coeficiente de P na equação 5O = 2P

P=5O2P = \frac{5O}{2}
P=5O2P = \boxed{\frac{5O}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Isolar O em vez de P, o que também funciona, mas pode confundir na substituição.

Passo 5 — Substituir P na segunda equação

Com P expresso em função de O, substituímos na segunda equação para ficar com uma única incógnita e poder resolver.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde havia P, colocamos 5O/2.

12O−11⋅5O2=−83712O - 11 \cdot \frac{5O}{2} = -837

De onde vem cada valor: 12O12O = passo 3: 12O - 11P = -837 · 1111 = passo 3: coeficiente de P na equação 12O - 11P = -837 · 5O2\frac{5O}{2} = passo 4: P = 5O/2

12O−55O2=−83712O - \frac{55O}{2} = -837
12O−55O2=−83712O - \frac{55O}{2} = \boxed{-837}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 11 pelo numerador 5O, escrevendo 11·5O/2 como 55O/2 corretamente, mas errar o sinal.

Passo 6 — Eliminar o denominador e resolver para O

A equação tem uma fração. Multiplicamos todos os termos por 2 para trabalhar com números inteiros e então isolamos O.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 2 elimina o denominador, e depois combinamos os termos em O.

24O−55O=−1674⇒−31O=−167424O - 55O = -1674 \Rightarrow -31O = -1674

De onde vem cada valor: 24O24O = passo 5: 12O multiplicado por 2 · 55O55O = passo 5: 55O/2 multiplicado por 2 · −1674-1674 = passo 5: -837 multiplicado por 2 · −31-31 = constante: 24 - 55

−31O=−1674-31O = -1674
O=54O = \boxed{54}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 12O·2 = 24O, mas alguns escrevem 12O·2 = 24O².

Resposta: 54 oficiais — alternativa B

Link permanente: /questoes/fc149924