Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — FCC 2025
Matemática›Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
fc149935
Banca
FCC
Órgão
PM AP
Ano
2025
Cargo
Of ( )
Uma feira de livro foi realizada pela turma Águia Azul. Cada oficial combatente levou pelo menos um livro, que deveria ser de Primeiros Socorros ou de Materiais Inflamáveis ou de Técnicas e Regras de Combate. Alguns oficiais levaram livros de duas dessas disciplinas. Quem levou livro de Técnicas e Regras de Combate também levou livro de alguma das outras duas disciplinas. Quem levou livro de Primeiros Socorros não levou livro de Materiais Inflamáveis. Foram 26 oficiais que levaram um único livro e, entre eles, 7 levaram de Primeiros Socorros. Foram 50 oficiais que levaram livro de Técnicas e Regras de Combate. O número de funcionários que levou livro de Primeiros Socorros excede em 22 o número de oficiais que levou livro de Materiais Inflamáveis. O total de oficiais combatentes da turma Águia Azul é
A68.
B91.
C85.
D81.
E76.
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GabaritoE — 76.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 76 oficiais — alternativa E.
A ideia por trás
Quando três grupos se sobrepõem, o total de pessoas não é a simples soma dos três: quem pertence a dois grupos contaria duas vezes. O princípio da inclusão-exclusão corrige isso subtraindo as intersecções, e o diagrama de Venn ajuda a enxergar cada região separada.
Para três conjuntos A, B e C, o total da união é n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C). Mas quando o enunciado impõe que dois conjuntos são disjuntos (não se tocam) e que um está totalmente dentro da união dos outros, o diagrama se simplifica: sobram apenas as regiões de quem tem um único livro e as de quem tem exatamente dois.
Aqui as condições de exclusividade reduzem o problema a duas intersecções possíveis, e a frase sobre quem levou Técnicas elimina a região de quem levou só Técnicas. O caminho é nomear cada região do diagrama e montar equações com os totais dados.
O que a questão dá
26 oficiais levaram um único livro
7 deles levaram apenas Primeiros Socorros
50 oficiais levaram livro de Técnicas e Regras de Combate
n(P) = n(M) + 22
quem levou Técnicas também levou Primeiros Socorros ou Materiais Inflamáveis
quem levou Primeiros Socorros não levou Materiais Inflamáveis
O que queremos: o total de oficiais combatentes da turma Águia Azul
Passo 1 — Desenhar o diagrama de Venn com as regiões
Antes de qualquer conta, precisamos visualizar onde cada oficial se encaixa. Como quem levou Primeiros Socorros não levou Materiais Inflamáveis, os círculos P e M não se tocam; e como quem levou Técnicas também levou uma das outras duas, não existe região de quem levou só Técnicas.
NÃO CAIA NESSA!
Desenhar os três círculos se intersectando todos entre si — isso criaria uma região tripla que o enunciado proíbe.
Passo 2 — Nomear cada região do diagrama
Cada pedaço do diagrama representa um grupo distinto de oficiais, e é com esses nomes que vamos montar as equações.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a região de apenas Primeiros Socorros com o total de quem levou Primeiros Socorros — o total inclui também quem levou Primeiros e Técnicas.
Passo 3 — Achar quantos levaram só Materiais Inflamáveis
Sabemos que 26 oficiais levaram um único livro e que 7 deles foram de Primeiros Socorros. Como não existe quem levou só Técnicas, os únicos com um único livro são os de só Primeiros e os de só Materiais.
Por que esta fórmula: A soma dos que têm um único livro é x + y = 26, e x = 7.
De onde vem cada valor: = enunciado: 26 oficiais levaram um único livro · = enunciado: 7 levaram de Primeiros Socorros
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que z = 0 e somar uma região que não existe.
Passo 4 — Relacionar as intersecções com Técnicas
O total de quem levou Técnicas é 50, e como ninguém levou só Técnicas, esse total é a soma das duas regiões que misturam Técnicas com as outras disciplinas.
Por que esta fórmula: n(T) = a + b, pois z = 0.
De onde vem cada valor: = região P∩T (passo 2) · = região M∩T (passo 2) · = enunciado: 50 oficiais levaram livro de Técnicas
NÃO CAIA NESSA!
Contar a região tripla, que não existe porque P e M são disjuntos.
Passo 5 — Montar a equação da diferença entre P e M
O enunciado diz que o total de quem levou Primeiros Socorros é 22 a mais que o total de quem levou Materiais Inflamáveis. Esses totais incluem as regiões de intersecção com Técnicas.
Por que esta fórmula: n(P) = x + a e n(M) = y + b; a condição é n(P) = n(M) + 22.
De onde vem cada valor: = passo 3: 7 · = passo 3: 19 · = região P∩T (passo 2) · = região M∩T (passo 2) · = enunciado: excede em 22
NÃO CAIA NESSA!
Usar apenas as regiões de um único livro, esquecendo as intersecções.
Passo 6 — Resolver o sistema para achar a e b
Temos duas equações com duas incógnitas: a + b = 50 e a − b = 34. Somando as duas, eliminamos b e encontramos a.
Por que esta fórmula: Da equação do passo 5, 7 + a = 19 + b + 22 ⇒ a − b = 34. Somando com a + b = 50, obtemos 2a = 84.
De onde vem cada valor: = passo 5: 7 + a = 19 + b + 22 ⇒ a − b = 34; passo 4: a + b = 50; somando: 2a = 84
NÃO CAIA NESSA!
Resolver por tentativa e erro em vez de somar as equações.
Passo 7 — Calcular o total de oficiais
O total da turma é a soma de todas as regiões do diagrama, já que cada oficial levou pelo menos um livro.
Por que esta fórmula: Total = x + y + a + b (z = 0).
De onde vem cada valor: = passo 3: 7 · = passo 3: 19 · = passo 6: 42 · = passo 4: 50 − 42 = 8
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar alguma região ou contar a intersecção tripla.