Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — FCC 2025
Matemática›Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
fc149936
Banca
FCC
Órgão
PM AP
Ano
2025
Cargo
Of ( )
Em uma biblioteca há 16 livros em inglês para cada 11 livros em espanhol. O bibliotecário chefe encomendou mais 99 livros em inglês e mais vários livros em espanhol, de maneira que a razão indicada passará a ser de 7 livros em inglês para cada 8 livros em espanhol. Se após essa encomenda a biblioteca tiver 795 livros nesses dois idiomas, o número de livros em espanhol que o bibliotecário encomendou foi
A243.
B231.
C233.
D247.
E230.
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GabaritoD — 247.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 237 livros em espanhol (não listado nas alternativas; o gabarito D=247 parece inconsistente com os dados).
A ideia por trás
Razão é uma comparação entre duas quantidades por divisão: dizer que há 16 livros em inglês para cada 11 em espanhol significa que a fração de ingleses sobre espanhóis é 16/11. Quando duas quantidades mantêm uma razão fixa, elas são proporcionais e podem ser escritas como múltiplos de uma mesma constante k: 16k e 11k. Essa constante é o 'tamanho do lote' que repete a proporção.
A propriedade fundamental das proporções diz que, se a/b = c/d, então a·d = b·c (multiplicação cruzada). Isso permite transformar uma igualdade de frações em uma equação algébrica. Além disso, quando conhecemos o total de itens, podemos montar uma segunda equação somando as partes. O sistema resultante tem duas incógnitas (k e o acréscimo de espanhol) e duas equações, então é possível resolvê-lo.
Esta questão combina a razão inicial com um acréscimo conhecido e um total final. Precisamos montar duas equações: uma para a razão final e outra para o total, e então resolver o sistema para achar o acréscimo de espanhol.
O que a questão dá
razão inicial: 16 livros em inglês para 11 em espanhol
acréscimo de 99 livros em inglês
razão final: 7 livros em inglês para 8 em espanhol
total após a encomenda: 795 livros
O que queremos: o número de livros em espanhol encomendados
Passo 1 — Representar as quantidades iniciais
Como a razão inicial é 16:11, as quantidades iniciais podem ser escritas como 16k e 11k, onde k é um número que escala a proporção. Isso transforma a razão em expressões algébricas que podemos usar nas equações.
Por que esta fórmula: Se I/E = 16/11, então I = 16k e E = 11k para algum k real positivo. Essa é a definição de grandezas proporcionais.
De onde vem cada valor: = enunciado: razão inicial 16:11 · = enunciado: razão inicial 16:11 · = constante: fator de proporcionalidade
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que k é o mesmo para as duas quantidades; usar valores diferentes quebra a proporção.
Passo 2 — Montar a equação da razão final
Após a encomenda, o número de livros em inglês aumenta em 99 e o de espanhol em x (desconhecido). A nova razão deve ser 7:8, então escrevemos essa igualdade de frações.
Por que esta fórmula: A razão final é (I_0 + 99)/(E_0 + x) = 7/8. Substituindo I_0 e E_0 pelas expressões do passo 1, obtemos a equação com k e x.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = enunciado: acréscimo de 99 livros em inglês · = passo 1 · = definição: incógnita, livros em espanhol encomendados
NÃO CAIA NESSA!
Inverter a razão final (colocar 8/7) — a ordem importa: inglês sobre espanhol.
Passo 3 — Montar a equação do total
O total de livros após a encomenda é 795. Somando as quantidades finais de inglês e espanhol, obtemos uma segunda equação que relaciona k e x.
Por que esta fórmula: Total = (16k + 99) + (11k + x) = 795. Simplificando, 27k + 99 + x = 795.
De onde vem cada valor: = soma de 16k e 11k (passo 1) · = enunciado: acréscimo de inglês · = definição: incógnita, acréscimo de espanhol · = enunciado: total final
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar o 99 no total — ele é parte do total final.
Passo 4 — Isolar x na equação do total
Para resolver o sistema, expressamos x em função de k usando a equação do total. Isso permite substituir x na equação da razão, ficando só com k.
Por que esta fórmula: Da equação 27k + 99 + x = 795, subtraímos 27k e 99 dos dois lados: x = 795 - 99 - 27k = 696 - 27k.
De onde vem cada valor: = passo 3: 795 - 99 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Errar a subtração: 795 - 99 = 696, não 696? Confira a conta.
Passo 5 — Substituir x na equação da razão
Agora temos x em função de k. Substituindo na equação da razão final, eliminamos x e ficamos com uma equação só com k.
Por que esta fórmula: Na equação (16k+99)/(11k+x) = 7/8, trocamos x por 696 - 27k. O denominador vira 11k + 696 - 27k = 696 - 16k.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 4: 11k + (696 - 27k) = 696 - 16k
NÃO CAIA NESSA!
Errar a simplificação do denominador: 11k - 27k = -16k, então fica 696 - 16k.
Passo 6 — Multiplicar cruzado e resolver para k
Com uma igualdade de frações, a propriedade fundamental das proporções permite multiplicar cruzado, transformando a equação em uma equação linear simples.
Por que esta fórmula: Se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, 8·(16k+99) = 7·(696-16k).
De onde vem cada valor: = enunciado: razão final 7:8 (denominador) · = passo 5 · = enunciado: razão final 7:8 (numerador) · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar cruzado na ordem errada: 8 deve multiplicar o numerador da esquerda e 7 o denominador da direita.
Passo 7 — Resolver a equação linear
Agora é álgebra pura: distribuir, juntar os termos com k e isolar k.
Por que esta fórmula: Distribuindo: 128k + 792 = 4872 - 112k. Somando 112k dos dois lados e subtraindo 792: 240k = 4080. Dividindo por 240: k = 17.
De onde vem cada valor: = passo 6: 4872 - 792 · = passo 6: 128 + 112
NÃO CAIA NESSA!
Errar a soma dos coeficientes de k: 128 + 112 = 240, não 140.
Passo 8 — Calcular o número de livros em espanhol encomendados
Com k = 17, usamos a expressão de x do passo 4 para achar quantos livros em espanhol foram encomendados.
Por que esta fórmula: x = 696 - 27k. Substituindo k = 17: x = 696 - 27·17 = 696 - 459 = 237.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 4: coeficiente de k · = passo 7
NÃO CAIA NESSA!
Parar em k = 17 e esquecer de calcular x — a pergunta é sobre x, não sobre k.
Resposta: 237 livros em espanhol (não listado nas alternativas; o gabarito D=247 parece inconsistente com os dados)