Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Equações de Primeiro Grau — FCC 2025

MatemáticaEquações de Primeiro Grau
Código
fc149938
Banca
FCC
Órgão
UNASP
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Em uma biblioteca, a razão entre o número de livros de física e o número de livros de matemática é igual a 34\dfrac {3} {4}. Nesta semana, a biblioteca receberá uma remessa de 200 livros, sendo 54 de física e os demais de matemática, o que fará com que a razão indicada passe a ser igual a 35\dfrac {3} {5}.   Após receber a encomenda, o total de livros dessas duas disciplinas na biblioteca será igual a
  1. A596
  2. B588
  3. C592
  4. D584
  5. E580
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 592

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 592 livros — alternativa C.

A ideia por trás

Uma razão é uma comparação entre duas quantidades por meio de uma fração. Dizer que a razão entre livros de física e matemática é 3/4 significa que, para cada 3 livros de física, há 4 de matemática — não que existam exatamente 3 e 4 livros, mas que a proporção entre as quantidades é essa. Quando uma remessa altera as quantidades, a razão muda, e é preciso descobrir os valores originais.

Se F é o número de livros de física e M o de matemática, a razão é F/M. A razão inicial dá a equação F/M = 3/4, que pode ser reescrita como 4F = 3M (multiplicando em cruz). Após a remessa, as quantidades viram F + 54 e M + 146, e a nova razão dá (F + 54)/(M + 146) = 3/5, ou seja, 5(F + 54) = 3(M + 146). Temos duas equações e duas incógnitas — um sistema que se resolve por substituição.

Esta questão pede para montar o sistema a partir das duas razões e resolvê-lo. O passo crítico é escrever corretamente as equações antes e depois da remessa, sem inverter as frações.

O que a questão dá

  • razão inicial física/matemática = 3/4

  • remessa: 54 de física e 146 de matemática (200 − 54)

  • razão final física/matemática = 3/5

O que queremos: o total de livros de física e matemática após a remessa

Passo 1 — Montar a equação da razão inicial

Precisamos traduzir a primeira informação do enunciado em uma equação. A razão entre física e matemática antes da remessa é 3/4, então escrevemos F/M = 3/4. Multiplicar em cruz elimina as frações e facilita a substituição depois.

Por que esta fórmula: A razão é uma fração, e multiplicar em cruz é a forma de igualar os produtos: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, F/M = 3/4 vira 4F = 3M.

4F=3M4F = 3M

De onde vem cada valor: FF = definição: número de livros de física antes da remessa · MM = definição: número de livros de matemática antes da remessa

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão: escrever 3F = 4M em vez de 4F = 3M. Confira sempre qual quantidade está no numerador.

Passo 2 — Montar a equação da razão final

A segunda informação do enunciado envolve as quantidades após a remessa. Somamos 54 a F e 146 a M, e a nova razão é 3/5. Isso gera a segunda equação do sistema.

Por que esta fórmula: A razão final é (F + 54)/(M + 146) = 3/5. Multiplicando em cruz, obtemos 5(F + 54) = 3(M + 146).

5(F+54)=3(M+146)5(F + 54) = 3(M + 146)

De onde vem cada valor: F+54F + 54 = definição: física após a remessa (F inicial + 54 recebidos) · M+146M + 146 = definição: matemática após a remessa (M inicial + 146 recebidos, pois 200 − 54 = 146)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 146 a M, usando M sozinho na razão final.

Passo 3 — Isolar M na primeira equação

Para resolver o sistema por substituição, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Isolar M na equação 4F = 3M é o caminho mais direto.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados de 4F = 3M por 3, obtemos M = (4/3)F.

M=43FM = \frac{4}{3}F

De onde vem cada valor: FF = passo 1 · 4/34/3 = constante: resultado da divisão de 4 por 3

NÃO CAIA NESSA!

Isolar F em vez de M, o que complica a substituição. Aqui M = (4/3)F é mais simples.

Passo 4 — Substituir M na segunda equação

Com M expresso em função de F, substituímos na segunda equação para ficar com uma única incógnita. Primeiro expandimos os parênteses da equação do passo 2.

Por que esta fórmula: A equação 5(F + 54) = 3(M + 146) expande para 5F + 270 = 3M + 438. Depois, substituímos M por (4/3)F.

5F+270=3⋅43F+4385F + 270 = 3 \cdot \frac{4}{3}F + 438

De onde vem cada valor: 5F+2705F + 270 = constante: expansão de 5(F + 54) · 3M3M = constante: termo da expansão de 3(M + 146) · MM = passo 3: (4/3)F

5F+270=3⋅43F+4385F + 270 = 3 \cdot \frac{4}{3}F + 438
NÃO CAIA NESSA!

Errar a expansão: 5(F + 54) = 5F + 270, não 5F + 54. E 3(M + 146) = 3M + 438.

Passo 5 — Resolver a equação para F

Agora temos uma equação só com F. Simplificamos os termos com F e isolamos F para descobrir quantos livros de física havia antes da remessa.

Por que esta fórmula: 3 · (4/3)F = 4F, então a equação vira 5F + 270 = 4F + 438. Subtraindo 4F dos dois lados: F + 270 = 438. Subtraindo 270: F = 168.

F=168F = 168

De onde vem cada valor: 5F−4F5F - 4F = constante: subtração dos termos com F · 438−270438 - 270 = constante: subtração das constantes

5F+270=4F+438⇒F=168=168 livrosdefıˊsica5F + 270 = 4F + 438 \Rightarrow F = 168 = \boxed{168\ \text{livros} \text{de} \text{f}í\text{sica}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 438 − 270 = 168, não 158. Confira a aritmética.

Passo 6 — Calcular M usando o valor de F

Com F conhecido, voltamos à relação do passo 3 para achar M. Isso fecha as quantidades iniciais.

Por que esta fórmula: M = (4/3)F, então M = (4/3) · 168 = 224.

M=43×168M = \frac{4}{3} \times 168

De onde vem cada valor: 4/34/3 = passo 3 · 168168 = passo 5

M=43×168=224 livrosdematemaˊticaM = \frac{4}{3} \times 168 = \boxed{224\ \text{livros} \text{de} \text{matem}á\text{tica}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar errado: 168 ÷ 3 = 56, e 56 × 4 = 224. Não confundir com 168 × 4/3 = 224.

Passo 7 — Somar a remessa às quantidades iniciais

A pergunta é sobre o total APÓS a remessa. Precisamos somar os 54 de física e os 146 de matemática aos valores iniciais.

Por que esta fórmula: Física final = F + 54 = 168 + 54 = 222. Matemática final = M + 146 = 224 + 146 = 370.

Ffinal=F+54,Mfinal=M+146F_{final} = F + 54, \quad M_{final} = M + 146

De onde vem cada valor: FF = passo 5: 168 · 5454 = enunciado: 54 livros de física na remessa · MM = passo 6: 224 · 146146 = enunciado: 200 − 54 = 146 livros de matemática na remessa

Ffinal=168+54=222,Mfinal=224+146=370=222 defıˊsicae370dematemaˊticaF_{final} = 168 + 54 = 222, \quad M_{final} = 224 + 146 = 370 = \boxed{222\ \text{de} \text{f}í\text{sica} \text{e} 370 \text{de} \text{matem}á\text{tica}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 146 como 144 ou esquecer de somar a remessa, respondendo com o total inicial.

Passo 8 — Calcular o total final

O total é a soma das quantidades finais. Esse é o número que a questão pede.

Por que esta fórmula: Total = F_final + M_final = 222 + 370 = 592.

Total=Ffinal+MfinalTotal = F_{final} + M_{final}

De onde vem cada valor: FfinalF_{final} = passo 7: 222 · MfinalM_{final} = passo 7: 370

Total=222+370=592 livrosTotal = 222 + 370 = \boxed{592\ \text{livros}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 222 + 370 = 592, não 596. Confira a adição.

Resposta: 592 livros — alternativa C

Link permanente: /questoes/fc149938