Questão de Matemática — Geometria Espacial — FCC 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a b + c = 30 cm — alternativa E.

A ideia por trás

O paralelepípedo reto-retângulo é um bloco com seis faces retangulares, como uma caixa de sapatos. Suas três dimensões (a, b, c) são as arestas que se encontram em um vértice. A área total é a soma das áreas de todas as faces: cada face é um retângulo, e faces opostas são iguais, então a área total é o dobro da soma dos três produtos dois a dois das dimensões.

A fórmula da área total é A_t = 2(ab + ac + bc). Ela vem de somar as áreas das seis faces: duas faces de área ab, duas de área ac e duas de área bc. Se uma dimensão aumenta, a área cresce proporcionalmente a ela, mas como as dimensões aparecem multiplicadas, o crescimento é mais rápido quando duas aumentam juntas. Essa relação vale para qualquer paralelepípedo reto-retângulo.

A questão fornece uma dimensão e uma relação entre as outras duas, e pede a soma delas. O caminho é substituir essas informações na fórmula da área, gerando uma equação do segundo grau em b, que resolvemos para achar b e depois c.

O que a questão dá

• a = 7 cm

• c - b = 2 cm

• área total = 868 cm²

O que queremos: a soma b + c

Passo 1 — Escrever c em função de b

Temos duas incógnitas, b e c, mas uma relação entre elas: c - b = 2. Isso significa que c é 2 cm maior que b. Para conseguir usar a fórmula da área, precisamos de uma única variável, então expressamos c como b + 2.

Por que esta fórmula: A relação c - b = 2 é uma equação linear simples; isolando c, obtemos c = b + 2.

De onde vem cada valor: $b$ = definição: incógnita · $2$ = enunciado: c - b = 2 cm

Passo 2 — Montar a equação da área total

Agora que temos c em função de b, podemos substituir a, b e c na fórmula da área total. Isso transforma a fórmula em uma equação com apenas uma incógnita, b, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: A área total é a soma das áreas das seis faces: 2(ab + ac + bc). Substituímos a = 7 e c = b + 2.

De onde vem cada valor: $868$ = enunciado: área total = 868 cm² · $7$ = enunciado: a = 7 cm · $b$ = definição: incógnita · $b+2$ = passo 1: c = b + 2

Passo 3 — Simplificar a equação

A equação ainda tem parênteses e colchetes. Para resolver, precisamos expandir e simplificar até chegar a uma equação do segundo grau na forma padrão.

Por que esta fórmula: Expandimos os produtos e somamos os termos semelhantes.

De onde vem cada valor: $b^{2}$ = passo 2: do produto b(b+2) · $16b$ = passo 2: de 7b + 7(b+2) + 2b · $14$ = passo 2: de 7*2

Passo 4 — Igualar a zero e dividir

Para resolver a equação do segundo grau, precisamos deixá-la na forma ax² + bx + c = 0. Subtraímos 868 de ambos os lados e depois dividimos por 2 para simplificar os coeficientes.

Por que esta fórmula: A equação 2b² + 32b + 28 = 868 é equivalente a 2b² + 32b - 840 = 0. Dividir por 2 não altera as raízes e facilita o cálculo.

De onde vem cada valor: $b^{2}$ = passo 3: coeficiente 2 dividido por 2 · $16b$ = passo 3: coeficiente 32 dividido por 2 · $-420$ = passo 3: (28 - 868)/2 = -420

Passo 5 — Calcular o discriminante

Para resolver a equação do segundo grau, usamos a fórmula de Bhaskara, que exige o discriminante Δ = b² - 4ac. Ele nos diz quantas raízes reais existem e permite calcular as raízes.

Por que esta fórmula: Na equação b² + 16b - 420 = 0, temos a = 1, b = 16, c = -420. O discriminante é Δ = 16² - 4·1·(-420).

De onde vem cada valor: $16$ = passo 4: coeficiente de b · $1$ = passo 4: coeficiente de b² · $-420$ = passo 4: termo constante

Passo 6 — Extrair a raiz quadrada

A fórmula de Bhaskara usa √Δ. Precisamos do valor exato para continuar.

Por que esta fórmula: 1936 é um quadrado perfeito: 44² = 1936.

De onde vem cada valor: $1936$ = passo 5

Passo 7 — Achar as raízes de b

Com o discriminante, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de b. Uma das raízes será negativa e deve ser descartada, pois medida não pode ser negativa.

Por que esta fórmula: A fórmula é b = (-16 ± 44)/2. Calculamos as duas possibilidades.

De onde vem cada valor: $-16$ = passo 4: coeficiente de b com sinal trocado · $44$ = passo 6 · $2$ = passo 4: 2·a = 2·1

Passo 8 — Calcular c e a soma

Com b = 14, usamos a relação do passo 1 para achar c, e então somamos.

Por que esta fórmula: c = b + 2, então c = 14 + 2 = 16. A soma é b + c.

De onde vem cada valor: $14$ = passo 7 · $16$ = passo 1: c = b + 2

Resposta: b + c = 30 cm — alternativa E