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Questão de Matemática — Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal — FCC 2025

MatemáticaPolinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
Código
fc149941
Banca
FCC
Órgão
UNASP
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Sejam p e q as duas maiores raízes do polinômio P ×\times \, = \, ×4\times^4 \, - \, 17 \, ×3\times^3 \, + 98×2\times^2 \, - \, 220×\times \, + \, 168.   Sabendo que p > q e que 2 é uma raiz dupla desse polinômio, a diferença p - q é igual a
  1. A4
  2. B2
  3. C1
  4. D5
  5. E3
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GabaritoC — 1

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a p - q = 1 — alternativa C.

A ideia por trás

Raiz de um polinômio é um número que, ao ser substituído no lugar de x, faz o polinômio valer zero. Quando dizemos que uma raiz é dupla, significa que o fator (x - raiz) aparece duas vezes na fatoração do polinômio — ou seja, o polinômio é divisível por (x - raiz)². Isso é uma informação poderosa, pois reduz o grau do polinômio e facilita encontrar as outras raízes.

Se um polinômio P(x) tem raiz dupla r, então P(x) é divisível por (x - r)². Ao dividir P(x) por esse fator, obtemos um polinômio de grau menor, cujas raízes são as demais raízes de P(x). Para um polinômio do 4º grau, dividir por (x - r)² resulta em um polinômio do 2º grau, que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara. Essa relação vale para qualquer polinômio com raízes reais ou complexas, desde que a divisão seja exata.

Nesta questão, sabemos que 2 é raiz dupla, então podemos dividir P(x) por (x - 2)² para obter uma equação do 2º grau. As raízes dessa equação serão as outras duas raízes do polinômio original, e a partir delas calculamos a diferença pedida.

O que a questão dá

  • polinômio P(x) = x^4 - 17x^3 + 98x^2 - 220x + 168

  • 2 é raiz dupla

  • p e q são as duas maiores raízes, com p > q

O que queremos: a diferença p - q entre as duas maiores raízes

Passo 1 — Montar o fator correspondente à raiz dupla

Como 2 é raiz dupla, o polinômio é divisível por (x - 2)². Precisamos desse fator para fazer a divisão e reduzir o grau do polinômio.

Por que esta fórmula: A definição de raiz dupla: se r é raiz dupla, então (x - r)² divide o polinômio. Aqui r = 2.

(x−2)2=x2−4x+4(x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4

De onde vem cada valor: xx = definição: variável do polinômio · 22 = enunciado: raiz dupla

(x−2)2=x2−4x+4=x2−4x+4(x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4 = \boxed{\text{x}^{2} - 4\text{x} + 4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que é raiz dupla e usar apenas (x - 2), o que não reduz o grau corretamente.

Passo 2 — Dividir o polinômio pelo fator

A divisão exata por (x - 2)² vai nos dar um polinômio do 2º grau, cujas raízes são as outras raízes do polinômio original. Isso transforma um problema de 4º grau em um de 2º grau, que sabemos resolver.

Por que esta fórmula: A divisão de polinômios é o método para encontrar o quociente quando um fator é conhecido. Como (x - 2)² divide P(x), o resto é zero.

P(x)÷(x2−4x+4)=Q(x)P(x) \div (x^{2} - 4x + 4) = Q(x)

De onde vem cada valor: P(x)P(x) = enunciado: x^4 - 17x^3 + 98x^2 - 220x + 168 · x2−4x+4x^{2} - 4x + 4 = passo 1

(x4−17x3+98x2−220x+168)÷(x2−4x+4)=x2−13x+42(x^{4} - 17x^{3} + 98x^{2} - 220x + 168) \div (x^{2} - 4x + 4) = \boxed{\text{x}^{2} - 13\text{x} + 42}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão por descuido nos sinais; confira cada subtração.

Passo 3 — Igualar o quociente a zero

As raízes do quociente são as outras raízes do polinômio original. Para encontrá-las, igualamos o quociente a zero e resolvemos a equação do 2º grau.

Por que esta fórmula: Um polinômio do 2º grau ax² + bx + c = 0 tem raízes dadas pela fórmula de Bhaskara.

x2−13x+42=0x^{2} - 13x + 42 = 0

De onde vem cada valor: x2−13x+42x^{2} - 13x + 42 = passo 2

x2−13x+42=0x^{2} - 13x + 42 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de igualar a zero antes de aplicar Bhaskara.

Passo 4 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com a equação do 2º grau montada, usamos Bhaskara para achar as duas raízes, que são as outras raízes do polinômio original.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do 2º grau: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 3: coeficiente de x² = 1 · bb = passo 3: coeficiente de x = -13 · cc = passo 3: termo constante = 42

x=13±169−1682x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}

x = 6 ou x = 7

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de b: aqui b = -13, então -b = 13.

Passo 5 — Identificar as duas maiores raízes

As raízes do polinômio original são 2, 2, 6 e 7. Precisamos escolher as duas maiores para calcular a diferença pedida.

p = 7, q = 6

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 2 é raiz dupla e considerar apenas uma vez, mas isso não afeta a escolha das maiores.

Passo 6 — Calcular a diferença p - q

Com p e q identificados, a diferença é uma simples subtração.

p−qp - q

De onde vem cada valor: pp = passo 5: 7 · qq = passo 5: 6

7−6=17 - 6 = \boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem e calcular q - p, o que daria -1.

Resposta: p - q = 1 — alternativa C

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