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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — FCC 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
fc149942
Banca
FCC
Órgão
UNASP
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Uma agência de turismo precisa levar 18 turistas para uma atração no centro da cidade. Há um único veículo disponível para esse transporte e, por isso, será levado um primeiro grupo com 9 pessoas e depois o veículo voltará para buscar o segundo grupo, formado pelas outras 9 pessoas. Três desses turistas querem ir no primeiro grupo e outros quatro preferem ir no segundo grupo.   De acordo com as preferências manifestadas, o número de maneiras distintas de serem formados os dois grupos para esse transporte é
  1. A360
  2. B958
  3. C720
  4. D462
  5. E584
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 462

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 462 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

Combinação é a contagem de quantos grupos diferentes podemos formar escolhendo uma parte de um conjunto, sem nos importar com a ordem interna. Por exemplo, escolher as pessoas A, B, C é o mesmo que escolher C, B, A — o que importa é quem está no grupo, não a sequência. A fórmula C(n, p) conta exatamente isso: de n pessoas, quantos subgrupos de p pessoas existem.

A fórmula é C(n, p) = n! / (p! · (n - p)!). O fatorial n! é o produto de todos os números de 1 até n. O denominador p! elimina as ordenações internas do grupo escolhido, e (n - p)! elimina as ordenações dos que ficaram de fora. Quando escolhemos um grupo, o complemento fica automaticamente definido — por isso, em problemas de divisão em dois grupos, basta escolher um deles.

Aqui temos 18 pessoas, mas 3 já estão fixas no primeiro grupo e 4 no segundo. Então, na prática, precisamos escolher quem completa o primeiro grupo entre os 11 restantes, e o segundo grupo se forma sozinho. Isso reduz o problema a uma única combinação.

O que a questão dá

  • total de turistas = 18

  • capacidade de cada grupo = 9

  • turistas que querem ir no primeiro grupo = 3

  • turistas que preferem o segundo grupo = 4

O que queremos: o número de maneiras de formar os dois grupos respeitando as preferências

Passo 1 — Calcular quantos turistas ainda precisam ser escolhidos

Antes de contar as combinações, precisamos saber quantas vagas estão livres em cada grupo. O primeiro grupo já tem 3 pessoas, então faltam 9 - 3 = 6. O segundo grupo já tem 4, então faltam 9 - 4 = 5. Mas como os grupos são complementares, escolher as 6 do primeiro automaticamente define as 5 do segundo.

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma subtração simples: vagas totais menos vagas já preenchidas.

vagas restantes no 1º grupo=9−3\text{vagas restantes no 1º grupo} = 9 - 3

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: cada grupo tem 9 pessoas · 33 = enunciado: três turistas querem ir no primeiro grupo

vagas restantes=9−3=6=6 vagas\text{vagas restantes} = 9 - 3 = 6 = \boxed{6\ \text{vagas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e tentar escolher 9 entre 11, o que daria um número muito maior.

Passo 2 — Contar quantos turistas estão livres para escolher

Dos 18 turistas, 3 já estão fixos no primeiro grupo e 4 no segundo. Esses 7 não podem ser escolhidos novamente. Então, para completar o primeiro grupo, só podemos escolher entre os 18 - 7 = 11 restantes.

Por que esta fórmula: É uma subtração: total de turistas menos os que já têm lugar garantido.

turistas livres=18−(3+4)\text{turistas livres} = 18 - (3 + 4)

De onde vem cada valor: 1818 = enunciado: total de turistas · 33 = enunciado: três querem o primeiro grupo · 44 = enunciado: quatro preferem o segundo grupo

turistas livres=18−7=11=11 turistas\text{turistas livres} = 18 - 7 = 11 = \boxed{11\ \text{turistas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 18 - 9 = 9, esquecendo que os 3 e 4 já estão fixos, não são 9.

Passo 3 — Escolher quem completa o primeiro grupo

Agora temos 11 turistas livres e precisamos escolher 6 deles para completar o primeiro grupo. A ordem não importa, então usamos combinação. Os 5 que sobrarem vão automaticamente para o segundo grupo, junto com os 4 que já estavam lá.

Por que esta fórmula: Combinação é a ferramenta certa porque estamos escolhendo um subconjunto sem ordem. C(11, 6) conta quantos grupos diferentes de 6 pessoas podemos formar a partir de 11.

C(11,6)=11!6!⋅(11−6)!C(11, 6) = \frac{11!}{6! \cdot (11 - 6)!}

De onde vem cada valor: 1111 = passo 2: turistas livres · 66 = passo 1: vagas restantes no primeiro grupo

C(11,6)=11!6!⋅5!=462C(11, 6) = \frac{11!}{6! \cdot 5!} = \boxed{462}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular C(11, 5) em vez de C(11, 6) — são valores diferentes, e o problema pede para completar o primeiro grupo, que tem 6 vagas.

Resposta: 462 maneiras — alternativa D

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