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Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — FCC 2025

Raciocínio LógicoSequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
Código
fc150101
Banca
FCC
Órgão
Pref SP
Ano
2025
Cargo
AMCI (CGM SP)
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, do segundo termo em diante, é Igual à soma do termo anterior com um número constante r. O primeiro termo de uma sequência S, formada apenas por números inteiros, é - 150 e o último termo é 800.    Sabe-se que os números - 93, 40, 97, 229 e 439 também são lermos dessa sequência e que, excluindo-se um desses cinco números, a sequência S passa a ser uma PA com um total de termos igual a
  1. A61
  2. B76
  3. C26
  4. D46
  5. E51
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 51

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 51 termos — alternativa E.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma fila de números em que cada um é obtido somando-se sempre o mesmo valor ao anterior. Esse valor fixo chama-se razão, e é ele que dá o ritmo da sequência: se a razão é 3, por exemplo, os termos são -150, -147, -144, e assim por diante. O primeiro termo é o ponto de partida, e o último termo é onde a fila termina.

A fórmula que liga todos esses elementos é a_n = a_1 + (n-1) * r, onde a_n é o último termo, a_1 é o primeiro, n é a quantidade de termos e r é a razão. Ela diz que, para chegar do primeiro ao último, você dá (n-1) passos, cada um do tamanho r. Por isso, a diferença entre o último e o primeiro é sempre um múltiplo exato da razão — e é isso que permite descobrir r quando conhecemos os extremos.

A questão dá cinco números que deveriam estar na sequência, mas um deles não se encaixa. A estratégia é descobrir qual razão faz quatro desses números pertencerem à mesma PA que começa em -150 e termina em 800, e então usar a fórmula do termo geral para contar quantos termos essa PA tem.

O que a questão dá

  • primeiro termo = -150

  • último termo = 800

  • números também na sequência: -93, 40, 97, 229, 439

O que queremos: o número de termos da PA formada ao excluir o número intruso

Passo 1 — Calcular a diferença entre o último e o primeiro termo

A diferença entre o último e o primeiro termo é o total que a sequência precisa percorrer. Como cada passo da PA tem o mesmo tamanho r, essa diferença total tem que ser um múltiplo exato de r — é a pista que vamos usar para achar a razão.

Por que esta fórmula: A diferença entre dois termos de uma PA é sempre (número de passos) vezes a razão. Aqui, o número de passos é (n-1), então a diferença total é (n-1)*r. Por isso, primeiro calculamos essa diferença.

Δ=an−a1\Delta = a_n - a_1

De onde vem cada valor: ana_n = enunciado: 800 · a1a_1 = enunciado: -150

Δ=800−(−150)=950\Delta = 800 - (-150) = \boxed{950}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos: 800 - 150 = 650, mas como o primeiro termo é negativo, a diferença é maior.

Passo 2 — Listar os divisores da diferença total

A razão r tem que dividir 950 exatamente, porque a diferença total é formada por (n-1) passos de tamanho r. Os divisores de 950 são os candidatos possíveis para r.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: divisores são os números que dividem 950 sem deixar resto. Eles são obtidos fatorando 950 = 2 * 5^2 * 19 e combinando os fatores.

1, 2, 5, 10, 19, 25, 38, 50, 95, 190, 475, 950

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer divisores como 19 ou 38, que não são óbvios, e ficar preso em razões pequenas.

Passo 3 — Testar a razão 19 nos números fornecidos

Entre os divisores, precisamos achar aquele que faz quatro dos cinco números dados pertencerem à PA. Testar 19 é um bom começo porque ele é um divisor razoável e aparece na fatoração de 950.

Por que esta fórmula: Para verificar se um número pertence à PA, subtraímos o primeiro termo e dividimos pela razão: o resultado deve ser um inteiro (o índice do termo).

k=x−a1rk = \frac{x - a_1}{r}

De onde vem cada valor: xx = enunciado: -93, 40, 97, 229, 439 · a1a_1 = enunciado: -150 · rr = passo 2: 19

para −93:k=−93−(−150)19=3;para 40:k=40−(−150)19=10;para 97:k=97−(−150)19=13;para 229:k=229−(−150)19=19,947...;para 439:k=439−(−150)19=31=todossa~ointeiros,exceto229\text{para } -93: k = \frac{-93 - (-150)}{19} = 3; \text{para } 40: k = \frac{40 - (-150)}{19} = 10; \text{para } 97: k = \frac{97 - (-150)}{19} = 13; \text{para } 229: k = \frac{229 - (-150)}{19} = 19{,}947...; \text{para } 439: k = \frac{439 - (-150)}{19} = 31 = \boxed{\text{todos} \text{s}ã\text{o} \text{inteiros}, \text{exceto} 229}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 229 pertence porque 229 - 97 = 132, que é múltiplo de 19? 132/19 = 6,947, não é inteiro.

Passo 4 — Identificar o número intruso

O teste mostrou que 229 não é termo da PA de razão 19, enquanto os outros quatro são. Portanto, 229 é o número que deve ser excluído.

229\boxed{229}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir e excluir outro número, como 439, que na verdade é termo da PA.

Passo 5 — Calcular o número de termos da PA

Agora que sabemos a razão e que a PA vai de -150 a 800, podemos usar a fórmula do termo geral para descobrir quantos termos ela tem. Essa é a pergunta final.

Por que esta fórmula: A fórmula a_n = a_1 + (n-1)*r relaciona o último termo com o primeiro, a razão e o número de termos. Isolando n, obtemos a quantidade de termos.

n=an−a1r+1n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1

De onde vem cada valor: ana_n = enunciado: 800 · a1a_1 = enunciado: -150 · rr = passo 2: 19

n=800−(−150)19+1=95019+1=50+1=51 termosn = \frac{800 - (-150)}{19} + 1 = \frac{950}{19} + 1 = 50 + 1 = \boxed{51\ \text{termos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 no final, obtendo 50 em vez de 51.

Resposta: 51 termos — alternativa E

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