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Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — FCC 2025

Raciocínio LógicoSequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
Código
fc150117
Banca
FCC
Órgão
CBM AP
Ano
2025
Cargo
Of ( )
Seja uma sequência de números reais  a1, a2, a3.... an, EM que a, é o primeiro termo, à2 o segundo termo e assim por diante. O primeiro termo dessa sequência é escolhido arbitrariamente e cada elemento dessa sequência, do segundo termo em diante, vale 3 a mais do que o dobro do termo precedente. Sabendo que a3 + a4 = 114, 0 valor de a5 é
  1. A231.
  2. B117.
  3. C141.
  4. D157.
  5. E181.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 157.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a a5 = 157, alternativa D.

A ideia por trás

Uma sequência definida por recorrência é uma lista de números em que cada termo é calculado a partir do termo anterior, seguindo uma regra fixa. Diferente de uma progressão aritmética ou geométrica, onde há uma fórmula direta para o termo geral, aqui precisamos conhecer um termo para achar o próximo. A regra dada, 'cada elemento vale 3 a mais que o dobro do termo precedente', é um exemplo clássico de recorrência linear.

A relação de recorrência é a_n = 2 · a_{n-1} + 3. Isso significa que, para obter um termo, multiplicamos o anterior por 2 e somamos 3. Se o termo anterior cresce, o próximo cresce ainda mais rápido, porque o dobro amplifica o valor. Essa relação é válida para todo n ≥ 2, e o primeiro termo a1 é arbitrário, mas isso não impede de resolver o problema se tivermos outra condição, como uma soma de termos.

A questão fornece a soma a3 + a4 = 114. Como a3 e a4 podem ser expressos em função de a2 usando a recorrência, essa soma vira uma equação que determina a2. A partir de a2, calculamos a3, a4 e finalmente a5.

O que a questão dá

  • regra: cada termo, do segundo em diante, vale 3 a mais que o dobro do anterior

  • a3 + a4 = 114

O que queremos: o valor de a5

Passo 1 — Expressar a3 em função de a2

Para usar a condição a3 + a4 = 114, precisamos escrever a3 e a4 em termos de um mesmo termo. Como a recorrência liga cada termo ao anterior, o mais natural é usar a2 como base, já que a3 depende de a2 e a4 depende de a3.

Por que esta fórmula: A regra da sequência é a_n = 2·a_{n-1} + 3. Aplicando para n=3, temos a3 = 2·a2 + 3.

a3=2⋅a2+3a_3 = 2 \cdot a_2 + 3

De onde vem cada valor: a2a_2 = definição: termo base da sequência · 22 = enunciado: dobro do termo precedente · 33 = enunciado: mais 3

a3=2⋅a2+3a_3 = 2 \cdot a_2 + 3
a3=2 ⋅a2+3a3 = \boxed{2\ \cdot \text{a}2 + 3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o '+3' e escrever a3 = 2·a2, o que leva a um resultado errado.

Passo 2 — Expressar a4 em função de a2

Precisamos de a4 também em função de a2 para somar com a3. Como a4 = 2·a3 + 3, substituímos a expressão de a3 obtida no passo anterior.

Por que esta fórmula: Aplicamos a recorrência para n=4: a4 = 2·a3 + 3. Depois substituímos a3 pela expressão do passo 1.

a4=2⋅(2⋅a2+3)+3=4⋅a2+9a_4 = 2 \cdot (2 \cdot a_2 + 3) + 3 = 4 \cdot a_2 + 9

De onde vem cada valor: a3a_3 = passo 1: 2·a2 + 3 · 22 = enunciado: dobro do termo precedente · 33 = enunciado: mais 3

a4=2⋅(2⋅a2+3)+3a_4 = 2 \cdot (2 \cdot a_2 + 3) + 3
a4=4 ⋅a2+9a4 = \boxed{4\ \cdot \text{a}2 + 9}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 2·(2·a2 + 3) = 4·a2 + 6, e depois somar 3, resultando 4·a2 + 9. Alguns esquecem de somar o 3 final.

Passo 3 — Montar a equação com a soma

Agora que temos a3 e a4 em função de a2, podemos substituir na condição a3 + a4 = 114. Isso transforma a condição em uma equação do primeiro grau em a2.

Por que esta fórmula: A condição é a3 + a4 = 114. Substituímos as expressões dos passos 1 e 2.

(2⋅a2+3)+(4⋅a2+9)=114(2 \cdot a_2 + 3) + (4 \cdot a_2 + 9) = 114

De onde vem cada valor: a3a_3 = passo 1: 2·a2 + 3 · a4a_4 = passo 2: 4·a2 + 9 · 114114 = enunciado: a3 + a4 = 114

(2⋅a2+3)+(4⋅a2+9)=114(2 \cdot a_2 + 3) + (4 \cdot a_2 + 9) = 114
6⋅a2+12=1146 \cdot a2 + 12 = \boxed{114}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os termos de forma errada: 2·a2 + 4·a2 = 6·a2, e 3 + 9 = 12. Alguns podem somar 3 + 9 = 12, mas esquecer de somar os coeficientes de a2.

Passo 4 — Resolver a equação para a2

Com a equação 6·a2 + 12 = 114, isolamos a2 para descobrir seu valor. Esse valor é a chave para calcular os próximos termos.

Por que esta fórmula: Equação do primeiro grau: subtraímos 12 dos dois lados e depois dividimos por 6.

a2=114−126a_2 = \frac{114 - 12}{6}

De onde vem cada valor: 114114 = enunciado: a3 + a4 = 114 · 1212 = passo 3: soma das constantes · 66 = passo 3: coeficiente de a2

a2=114−126=1026a_2 = \frac{114 - 12}{6} = \frac{102}{6}
a2=17a2 = \boxed{17}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração: 114 - 12 = 102, e 102/6 = 17. Alguns podem dividir 114 por 6 diretamente, obtendo 19, o que está errado.

Passo 5 — Calcular a3 e a4

Com a2 = 17, podemos calcular a3 e a4 usando a recorrência. Isso confirma os valores e nos prepara para a5.

Por que esta fórmula: Usamos a recorrência: a3 = 2·a2 + 3 e a4 = 2·a3 + 3.

a3=2⋅17+3=37,a4=2⋅37+3=77a_3 = 2 \cdot 17 + 3 = 37, \quad a_4 = 2 \cdot 37 + 3 = 77

De onde vem cada valor: a2a_2 = passo 4: 17 · 22 = enunciado: dobro do termo precedente · 33 = enunciado: mais 3

a3=2⋅17+3=37,a4=2⋅37+3=77a_3 = 2 \cdot 17 + 3 = 37, \quad a_4 = 2 \cdot 37 + 3 = 77

a3 = 37, a4 = 77

NÃO CAIA NESSA!

Calcular a4 diretamente de a2: a4 = 2·a3 + 3, não 2·a2 + 3. Alguns podem pular o passo e errar.

Passo 6 — Calcular a5

Finalmente, com a4 = 77, aplicamos a recorrência mais uma vez para obter a5, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: a5 = 2·a4 + 3, pela regra da sequência.

a5=2⋅77+3a_5 = 2 \cdot 77 + 3

De onde vem cada valor: a4a_4 = passo 5: 77 · 22 = enunciado: dobro do termo precedente · 33 = enunciado: mais 3

a5=2⋅77+3=154+3a_5 = 2 \cdot 77 + 3 = 154 + 3
a5=157a5 = \boxed{157}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a4 = 114 (da soma) em vez de 77, o que daria 231, um distrator.

Resposta: a5 = 157, alternativa D

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