Questão de Raciocínio Lógico — Princípio da Casa dos Pombos — FCC 2025

Princípio da Casa dos Pombos: distribuição de 15 oficiais em 3 grupos

Gabarito: letra D. Após os 15 oficiais escolherem um dos 3 grupos, é necessariamente verdade que alguma equipe terá mais de 48 pessoas. Isso decorre do Princípio da Casa dos Pombos: distribuindo 15 pessoas em 3 grupos, o pior cenário possível é 5 em cada grupo, mas como 15 é divisível por 3, a garantia mínima é de 5 por grupo — porém, a questão parte de 45 pessoas já alocadas em cada grupo, então o total mínimo garantido por grupo é 45 + 5 = 50, o que torna a alternativa D correta.

O Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas de Dirichlet) afirma que, se $n$ objetos são distribuídos em $k$ recipientes, com $n > k$, então pelo menos um recipiente conterá pelo menos $\lceil n/k \rceil$ objetos. No caso, temos 15 oficiais para distribuir em 3 grupos. O pior cenário — aquele que minimiza o número máximo de pessoas em um grupo — é distribuir os 15 igualmente: 5 para cada grupo. Isso é possível, pois 15 é múltiplo de 3. Portanto, a garantia mínima é que cada grupo receba 5 novos oficiais, totalizando 45 + 5 = 50 pessoas em cada grupo.

A pegadinha da questão está em interpretar corretamente o que é "necessariamente verdadeiro". A alternativa D afirma que "alguma equipe terá mais de 48 pessoas". Como o mínimo garantido é 50, isso é verdadeiro. Mas por que as outras alternativas estão erradas? Vamos analisar cada uma:

• A) todas as equipes ficarão com mais de 47 pessoas. Isso não é necessariamente verdade, pois os 15 oficiais podem escolher, por exemplo, 15 para o grupo 1 e 0 para os outros. Nesse caso, os grupos 2 e 3 ficariam com 45 pessoas, que não é mais de 47.

• B) pelo menos uma equipe ficará com 50 pessoas. Isso não é garantido, pois os 15 podem ser distribuídos como 5, 5, 5, resultando em 50 em cada grupo, mas também podem ser distribuídos como 15, 0, 0, resultando em 60, 45, 45 — nenhum com exatamente 50.

• C) a maior equipe terá mais de 50 pessoas. Isso não é garantido, pois a distribuição 5, 5, 5 resulta em 50, 50, 50 — a maior equipe tem exatamente 50, não mais de 50.

• E) nenhuma equipe terá menos de 46 pessoas. Isso não é garantido, pois a distribuição 15, 0, 0 resulta em 60, 45, 45 — os grupos 2 e 3 têm menos de 46.

Portanto, a única afirmação que é necessariamente verdadeira é a D: alguma equipe terá mais de 48 pessoas, pois o mínimo garantido é 50.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que todas as equipes ficarão com mais de 47 pessoas. Isso não é garantido, pois os 15 oficiais podem escolher todos para um único grupo, deixando os outros dois com 45 pessoas cada. Nesse cenário, as equipes com 45 pessoas não têm mais de 47. A alternativa confunde a possibilidade de distribuição uniforme com a garantia de que ela ocorrerá.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que pelo menos uma equipe ficará com 50 pessoas. Isso não é necessariamente verdade, pois a distribuição pode ser 15, 0, 0, resultando em 60, 45, 45 — nenhuma equipe com exatamente 50. A alternativa assume que a distribuição será equilibrada, mas o enunciado permite qualquer distribuição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a maior equipe terá mais de 50 pessoas. Isso não é garantido, pois a distribuição 5, 5, 5 resulta em 50, 50, 50 — a maior equipe tem exatamente 50, não mais. A alternativa erra ao exigir um valor estritamente maior que 50, quando o mínimo garantido é 50.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que alguma equipe terá mais de 48 pessoas. Isso é necessariamente verdadeiro, pois o pior cenário é distribuir os 15 igualmente (5 para cada grupo), resultando em 50 pessoas por grupo. Como 50 > 48, a afirmação é garantida. O Princípio da Casa dos Pombos assegura que, ao distribuir 15 objetos em 3 recipientes, pelo menos um recipiente terá $\lceil 15/3 \rceil = 5$ objetos, totalizando 50 pessoas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que nenhuma equipe terá menos de 46 pessoas. Isso não é garantido, pois a distribuição 15, 0, 0 resulta em 60, 45, 45 — os grupos com 45 pessoas têm menos de 46. A alternativa inverte a lógica: ela exige um mínimo que não é garantido, enquanto o correto é garantir um máximo.

Gabarito: letra D