Questão de Engenharia Mecânica — Fundamentos e Análise da Cinemática de Escoamentos — FGV 2021

Triângulo de velocidades em turbina axial

Gabarito: letra C. O ângulo que a velocidade relativa faz com a direção meridional na entrada do rotor é de 37°, obtido pela decomposição do triângulo de velocidades: a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é $V_{u1} = V_1 \cos(53°) = 600 \times 0,6 = 360\ \text{m/s}$, e a velocidade relativa tangencial é $W_{u1} = V_{u1} - U = 360 - 210 = 150\ \text{m/s}$. Como a velocidade meridional é constante e o escoamento absoluto deixa o rotor na direção axial, a componente meridional na entrada é $V_{m1} = V_1 \sin(53°) = 600 \times 0,8 = 480\ \text{m/s}$. Assim, $\tan(\beta_1) = \frac{W_{u1}}{V_{m1}} = \frac{150}{480} = 0,3125$, o que corresponde a $\beta_1 \approx 17,3°$ — mas isso não bate com o gabarito. Vamos refazer com cuidado: o ângulo de 53° é medido em relação à direção axial (meridional), não tangencial. Então $V_{m1} = V_1 \cos(53°) = 360\ \text{m/s}$ e $V_{u1} = V_1 \sin(53°) = 480\ \text{m/s}$. A velocidade relativa tangencial é $W_{u1} = V_{u1} - U = 480 - 210 = 270\ \text{m/s}$. Então $\tan(\beta_1) = \frac{W_{u1}}{V_{m1}} = \frac{270}{360} = 0,75$, logo $\beta_1 = \arctan(0,75) \approx 36,87° \approx 37°$. Gabarito: letra C.

A questão exige o domínio do triângulo de velocidades em turbomáquinas axiais, um tópico clássico de máquinas de fluxo. O triângulo de velocidades relaciona a velocidade absoluta ($V$), a velocidade relativa ($W$) e a velocidade periférica do rotor ($U$), com a velocidade meridional ($V_m$) sendo a componente axial (na direção do escoamento principal). A relação vetorial fundamental é $\vec{V} = \vec{U} + \vec{W}$, e a componente meridional é comum a $V$ e $W$ (pois $U$ é puramente tangencial).

Na entrada do rotor, o fluido sai do estator com velocidade absoluta $V_1 = 600\ \text{m/s}$ formando um ângulo de 53° com a direção axial (meridional). A velocidade periférica é $U = 210\ \text{m/s}$. Como a velocidade meridional é constante e o escoamento absoluto deixa o rotor na direção axial, na saída $V_{u2} = 0$, o que confirma que a componente meridional é a mesma em todo o estágio.

O passo crítico é identificar corretamente qual é a componente axial e qual é a tangencial. O ângulo de 53° é dado em relação à direção meridional (axial), então:

• $V_{m1} = V_1 \cos(53°) = 600 \times 0,6 = 360\ \text{m/s}$ (componente axial)

• $V_{u1} = V_1 \sin(53°) = 600 \times 0,8 = 480\ \text{m/s}$ (componente tangencial)

A velocidade relativa tangencial na entrada é a diferença entre a componente tangencial absoluta e a velocidade periférica:

$W_{u1} = V_{u1} - U = 480 - 210 = 270\ \text{m/s}$

O ângulo $\beta_1$ que a velocidade relativa faz com a direção meridional é dado por:

$\tan(\beta_1) = \frac{W_{u1}}{V_{m1}} = \frac{270}{360} = 0,75$

$\beta_1 = \arctan(0,75) \approx 36,87° \approx 37°$

A pegadinha clássica é inverter as componentes: usar $\cos(53°)$ para a tangencial e $\sin(53°)$ para a axial, o que levaria a um ângulo de aproximadamente 17°, que não está nas alternativas. Outra armadilha é esquecer de subtrair a velocidade periférica, obtendo $\tan(\beta_1) = \frac{480}{360} = 1,333$, que daria 53° (alternativa D).

Alternativa A — ❌ Incorreta

0° corresponderia a uma velocidade relativa puramente meridional, ou seja, $W_{u1} = 0$. Isso exigiria $V_{u1} = U = 210\ \text{m/s}$, o que não ocorre, pois $V_{u1} = 480\ \text{m/s}$. A velocidade relativa tem componente tangencial significativa, então o ângulo não pode ser nulo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

30° seria obtido se $\tan(30°) = 0,577$, o que exigiria $W_{u1} = 0,577 \times 360 \approx 208\ \text{m/s}$. Isso corresponderia a $V_{u1} = 208 + 210 = 418\ \text{m/s}$, que não é o valor real de 480 m/s. É um distrator que não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $\tan(\beta_1) = \frac{270}{360} = 0,75$, e $\arctan(0,75) \approx 36,87°$, que arredondado é 37°. Este é o ângulo que a velocidade relativa faz com a direção meridional na entrada do rotor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

53° é o ângulo da velocidade absoluta com a direção meridional, não da velocidade relativa. Se o candidato esquece de subtrair a velocidade periférica, calcula $\tan(\beta_1) = \frac{V_{u1}}{V_{m1}} = \frac{480}{360} = 1,333$, obtendo exatamente 53°. É a pegadinha mais perigosa: confundir o triângulo da velocidade absoluta com o da relativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

60° seria obtido se $\tan(60°) = 1,732$, o que exigiria $W_{u1} = 1,732 \times 360 \approx 624\ \text{m/s}$, um valor maior que a própria velocidade absoluta, o que é fisicamente impossível nessa configuração (a velocidade relativa tangencial é a diferença entre $V_{u1}$ e $U$, ambos menores que 600 m/s).

Gabarito: letra C