Questão de Engenharia Mecânica — Termodinâmica — FGV 2021

Condução de calor em regime permanente com geração interna

Gabarito: letra B. A taxa de transferência de calor que deixa a chapa é obtida pela Lei de Fourier aplicada na superfície $x = h$: $q = -kA\,\frac{dT}{dx}\big|_{x=h}$. Derivando a distribuição $T(x) = 5 + 10\,e^{(x/h)^2}$ e avaliando em $x = h$, obtém-se $q = 16{,}2\,\text{kW}$.

A questão envolve condução unidimensional em regime permanente com geração interna de calor. A distribuição de temperatura é fornecida, e o que se pede é o fluxo de calor na superfície exposta. A ferramenta é a Lei de Fourier, que relaciona o fluxo de calor ao gradiente de temperatura: o calor flui no sentido decrescente da temperatura, e a taxa é proporcional à condutividade térmica, à área e ao gradiente.

A pegadinha clássica aqui é esquecer o sinal negativo da Lei de Fourier ou avaliar a derivada no ponto errado (em $x=0$ em vez de $x=h$). Além disso, é preciso converter a espessura de mm para metros e a potência de W para kW. Vamos ao cálculo passo a passo.

Cálculo detalhado

1. Dados:

   • $k = 30\,\text{W/(m·K)}$

   • $A = 1\,\text{m}^2$

   • $h = 100\,\text{mm} = 0{,}1\,\text{m}$

   • $T(x) = 5 + 10\,e^{(x/h)^2}$ (em °C, mas a diferença de temperatura em K é a mesma)

1. Derivada da temperatura:

   $\frac{dT}{dx} = 10 \cdot \frac{d}{dx}\left[e^{(x/h)^2}\right] = 10 \cdot e^{(x/h)^2} \cdot \frac{2x}{h^2}$

1. Avaliar em $x = h$:

   $\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=h} = 10 \cdot e^{1} \cdot \frac{2h}{h^2} = 10 \cdot 2{,}7 \cdot \frac{2}{h} = \frac{54}{h}$

   Com $h = 0{,}1\,\text{m}$:

   $\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=h} = \frac{54}{0{,}1} = 540\,\text{K/m}$

1. Lei de Fourier:

   $q = -kA\,\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=h} = -30 \cdot 1 \cdot 540 = -16\,200\,\text{W}$

   O sinal negativo indica que o calor flui no sentido decrescente de $x$ (para fora da chapa). A taxa de calor que deixa a chapa é o módulo:

   $|q| = 16\,200\,\text{W} = 16{,}2\,\text{kW}$

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,6 kW — Esse valor seria obtido se, por engano, o aluno usasse a derivada em $x=0$ (onde $dT/dx = 0$) e depois aplicasse algum fator incorreto, ou se confundisse a unidade de $h$ (usando 100 em vez de 0,1) e errasse a conta. Não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

16,2 kW — Como demonstrado, é exatamente o resultado de $q = -kA\,dT/dx$ em $x=h$, com os valores fornecidos. A derivada em $x=h$ vale $540\,\text{K/m}$ e o produto $kA$ vale $30\,\text{W/K}$, resultando em $16\,200\,\text{W}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

22,2 kW — Esse número poderia surgir se o aluno usasse $e^1 = 2{,}7$ mas esquecesse de multiplicar pelo fator 2 da derivada da exponencial, obtendo $q = 30 \cdot 1 \cdot 10 \cdot 2{,}7 / 0{,}1 = 8\,100\,\text{W}$ (8,1 kW), ou se somasse erroneamente a constante 5°C. Não há base física para 22,2 kW.

Alternativa D — ❌ Incorreta

40,2 kW — Esse valor é o dobro de 20,1 kW, que seria obtido se o aluno usasse $e^2 = 7{,}4$ ou $e^3 = 20{,}1$ indevidamente, ou se aplicasse a derivada em um ponto errado. Não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

56,4 kW — Esse número é o triplo de 18,8 kW, que não tem relação com o problema. Provavelmente resulta de uma combinação incorreta dos dados (por exemplo, multiplicar 30 por 1 por 0,1 por 20,1 e depois por 3). Não há fundamento físico.

Gabarito: letra B