Questão de Engenharia Mecânica — Mecânica dos Fluidos — FGV 2021

Análise dimensional e o Teorema de Buckingham

Gabarito: letra A. Pelo Teorema de Buckingham (teorema dos Pi), a resistência por unidade de área $R$ deve ser adimensionalizada com as grandezas fundamentais escolhidas — massa específica $\rho$, velocidade $v$ e diâmetro $D$ — de modo que o grupo adimensional resultante seja $R/(\rho v^2)$. Isso porque $R$ tem dimensão de pressão (força/área), e $\rho v^2$ também tem dimensão de pressão, tornando a razão adimensional.

O Teorema de Buckingham é a ferramenta central da análise dimensional em Mecânica dos Fluidos. Ele afirma que uma relação física envolvendo $n$ grandezas pode ser reescrita em termos de $n-k$ grupos adimensionais independentes, onde $k$ é o número de grandezas fundamentais (no caso, 3: $\rho$, $v$, $D$). O objetivo é encontrar a combinação de $\rho$, $v$ e $D$ que, multiplicada ou dividida por $R$, resulte em um número puro — sem dimensões.

A resistência por unidade de área $R$ tem dimensão de pressão: $[R] = M L^{-1} T^{-2}$ (no SI, Pa = N/m² = kg/(m·s²)). Vamos verificar as dimensões de cada combinação proposta:

• $\rho v^2$: $[\rho] = M L^{-3}$, $[v] = L T^{-1}$, logo $[\rho v^2] = M L^{-3} \cdot (L T^{-1})^2 = M L^{-1} T^{-2}$ — exatamente a dimensão de pressão. Portanto, $R/(\rho v^2)$ é adimensional.

• $v^2 D$: $[v^2 D] = (L T^{-1})^2 \cdot L = L^3 T^{-2}$ — não é pressão.

• $\rho D$: $[\rho D] = M L^{-3} \cdot L = M L^{-2}$ — não é pressão.

• $D v^2$: igual a $v^2 D$, $L^3 T^{-2}$.

A pegadinha clássica é esquecer que $R$ já é uma grandeza por unidade de área (pressão) e tentar incluir $D$ no denominador, como se fosse necessário para "completar" a dimensão. Mas como $\rho v^2$ já tem a dimensão de pressão, o diâmetro não entra no grupo adimensional — ele já foi usado como grandeza fundamental para formar o grupo, mas não aparece na combinação final porque a dimensão de $R$ é satisfeita apenas com $\rho$ e $v$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $R/(\rho v^2)$ é adimensional, pois $R$ e $\rho v^2$ têm a mesma dimensão de pressão ($M L^{-1} T^{-2}$). É a forma correta obtida pelo Teorema de Buckingham.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$R/(v^2 D)$: $[v^2 D] = L^3 T^{-2}$, enquanto $[R] = M L^{-1} T^{-2}$. A razão tem dimensão $M L^{-4}$, não adimensional. O erro está em incluir $D$ no denominador sem $\rho$, o que não cancela a massa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$R v^2/(\rho D)$: $[R v^2] = (M L^{-1} T^{-2})(L^2 T^{-2}) = M L T^{-4}$; $[\rho D] = M L^{-2}$. A razão tem dimensão $L^3 T^{-4}$, não adimensional. Aqui $R$ está no numerador com $v^2$, o que aumenta a potência do comprimento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$R D/(\rho v^2)$: $[R D] = (M L^{-1} T^{-2})(L) = M T^{-2}$; $[\rho v^2] = M L^{-1} T^{-2}$. A razão tem dimensão $L$, não adimensional. O diâmetro no numerador introduz comprimento residual.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$R \rho/(D v^2)$: $[R \rho] = (M L^{-1} T^{-2})(M L^{-3}) = M^2 L^{-4} T^{-2}$; $[D v^2] = L^3 T^{-2}$. A razão tem dimensão $M^2 L^{-7}$, não adimensional. Aqui a massa aparece ao quadrado, o que não pode ser cancelado.

Gabarito: letra A