Questão de Engenharia Mecânica — Mecânica dos Fluidos — FGV 2021

Vazão em tubulação com redução de diâmetro

Gabarito: letra B. A vazão é de 0,12 m³/s, obtida aplicando-se a Equação de Bernoulli entre o ponto no trecho reduzido (pressão de 2000 kgf/m²) e o ponto 4 m acima (pressão de 10000 kgf/m²), combinada com a equação da continuidade. A diferença de pressão e a diferença de cota são usadas para determinar a velocidade no trecho de 100 mm, e a vazão é o produto dessa velocidade pela área da seção.

A questão envolve o escoamento de um fluido incompressível em uma tubulação com variação de diâmetro. O problema é resolvido com a Equação de Bernoulli (que relaciona pressão, velocidade e elevação ao longo de uma linha de corrente) e a Equação da Continuidade (que garante a conservação da massa, ou seja, a vazão é constante ao longo do tubo).

A equação de Bernoulli, desprezando perdas de carga, é:

Onde:

• $P$ é a pressão;

• $\rho$ é a massa específica do fluido;

• $g$ é a aceleração da gravidade;

• $V$ é a velocidade do escoamento;

• $z$ é a cota (elevação).

Como o fluido é o mesmo e a gravidade é constante, podemos usar as pressões em kgf/m² diretamente, pois essa unidade é equivalente a metros de coluna de água (mca) quando o fluido é água (1 kgf/m² ≈ 1 mmca, mas aqui a relação é direta se considerarmos a pressão em kgf/m² e a massa específica da água como 1000 kgf·s²/m⁴, o que não é necessário se trabalharmos com as pressões em kgf/m² e as alturas em metros, desde que a massa específica seja consistente). Na prática, para água, a pressão em kgf/m² dividida pelo peso específico (1000 kgf/m³) dá a altura de coluna de água em metros.

Vamos adotar o ponto 1 como o trecho reduzido (diâmetro de 100 mm) e o ponto 2 como o ponto 4 m acima (diâmetro de 200 mm).

Dados:

• $D_1 = 100 \text{ mm} = 0,1 \text{ m}$

• $D_2 = 200 \text{ mm} = 0,2 \text{ m}$

• $P_1 = 2000 \text{ kgf/m}^2$

• $P_2 = 10000 \text{ kgf/m}^2$

• $z_1 = 0$ (referência)

• $z_2 = 4 \text{ m}$

• $g = 10 \text{ m/s}^2$

• $\pi = 3,0$

Primeiro, convertemos as pressões em altura de coluna de água (para água, $\gamma = \rho g = 1000 \text{ kgf/m}^3$):

Aplicando Bernoulli entre os pontos 1 e 2:

Pela equação da continuidade, a vazão é constante:

As áreas são:

Portanto:

Substituindo na equação de Bernoulli:

A vazão é:

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,06 m³/s seria obtido se a velocidade no trecho de 200 mm fosse 2 m/s, o que não satisfaz a equação de Bernoulli com os dados fornecidos. Esse valor não corresponde a nenhuma combinação correta das equações.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a vazão é 0,12 m³/s. A velocidade no trecho de 200 mm é 4 m/s e a área é 0,03 m², resultando em $Q = 0,03 \times 4 = 0,12 \text{ m}^3/\text{s}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,36 m³/s seria o resultado se a velocidade no trecho de 200 mm fosse 12 m/s, o que não é compatível com a diferença de pressão e cota dadas. Esse valor é um distrator que poderia surgir de um erro no cálculo da velocidade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,48 m³/s corresponderia a uma velocidade de 16 m/s no trecho de 200 mm, valor que não satisfaz a equação de Bernoulli. Provavelmente é um distrator baseado em uma interpretação incorreta da relação entre as velocidades.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,64 m³/s seria obtido com uma velocidade de aproximadamente 21,33 m/s no trecho de 200 mm, o que está muito acima do que a equação de Bernoulli permite. Esse valor não tem fundamento nos dados do problema.

Gabarito: letra B