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Questão de Matemática Financeira — Sistema de Amortização Constante (SAC) — FGV 2021

Matemática FinanceiraSistema de Amortização Constante (SAC)
Código
fg044407
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Paulínia - SP
Ano
2021
Nível
Médio
Cargo
Auditor Fiscal Tributário
Um indivíduo avalia a compra de um imóvel financiado em 30 anos utilizando o Sistema de Amortização Constante – SAC, com taxa juros de 0,5% ao mês. O pagamento é postecipado, sendo a primeira prestação no valor de R$ 4.480,00.O sujeito pondera que consegue fazer o seu dinheiro render à mesma taxa de juros mensais do financiamento, razão pela qual decide efetuar aplicações mensais, iguais e sucessivas para que, ao final de 5 anos, obtenha o mesmo montante que pretendia inicialmente financiar.O valor mensal que esse indivíduo deve depositar, a partir do primeiro mês, em reais, para conseguir seu intento, é de, aproximadamente,(Utilize a aproximação (1,005)-⁶⁰=0,75)
  1. A5.970.
  2. B9.690
  3. C11.520.
  4. D18.850.
  5. E26.880.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 11.520.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Sistema de Amortização Constante (SAC) e Série Uniforme

Gabarito: letra C. O valor do financiamento (E) é obtido a partir da primeira prestação no SAC: R$ 4.480,00 = E/360 + 0,005E → E = R$ 576.000,00. O montante futuro desse valor após 60 meses à taxa de 0,5% a.m. é M = E × (1,005)^60 = 576.000 × 1/0,75 = R$ 768.000,00. A aplicação mensal postecipada que gera esse montante em 60 meses é PMT = M × i / [(1+i)^n - 1] = 768.000 × 0,005 / (1/0,75 - 1) = 768.000 × 0,005 × 3 = R$ 11.520,00.

A questão combina dois tópicos de Matemática Financeira: o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o cálculo de prestações de uma série uniforme (aplicação mensal). A chave está em interpretar que o montante a ser acumulado é o valor futuro do valor financiado, não o valor presente.

Passo 1 – Determinar o valor financiado (E) a partir da primeira prestação do SAC

No SAC, a amortização (A) é constante: A = E / n, com n = 30 anos × 12 meses = 360 meses. A primeira prestação (P₁) é a soma da amortização com os juros do primeiro mês:

P1=A+J1=En+i⋅EP_1 = A + J_1 = \frac{E}{n} + i \cdot E

Substituindo os dados:

4.480=E360+0,005E=E⋅(1360+1200)=E⋅79004.480 = \frac{E}{360} + 0,005E = E \cdot \left(\frac{1}{360} + \frac{1}{200}\right) = E \cdot \frac{7}{900}
E=4.480×9007=640×900=576.000E = 4.480 \times \frac{900}{7} = 640 \times 900 = 576.000

Portanto, o valor do financiamento (valor à vista do imóvel, sem entrada) é R$ 576.000,00.

Passo 2 – Montante que se deseja obter após 5 anos

O indivíduo quer, ao final de 5 anos (60 meses), ter um montante igual ao valor que pretendia financiar inicialmente, porém aplicado à mesma taxa de 0,5% ao mês. Ou seja, o montante alvo (M) é o valor futuro do financiamento de R$ 576.000,00:

M=E×(1+i)60M = E \times (1 + i)^{60}

A questão fornece a aproximação: (1,005)−60=0,75(1,005)^{-60} = 0,75, logo (1,005)60=10,75=43(1,005)^{60} = \frac{1}{0,75} = \frac{4}{3}.

M=576.000×43=768.000M = 576.000 \times \frac{4}{3} = 768.000

Passo 3 – Cálculo da aplicação mensal (série uniforme postecipada)

Para acumular o montante M em 60 meses com depósitos mensais iguais (PMT) à mesma taxa, usamos a fórmula do valor futuro de uma série uniforme:

M=PMT×(1+i)n−1iM = PMT \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}

Isolando PMT e usando a aproximação:

PMT=M×i(1+i)n−1=768.000×0,00543−1=768.000×0,00513=768.000×0,005×3PMT = M \times \frac{i}{(1+i)^n - 1} = 768.000 \times \frac{0,005}{\frac{4}{3} - 1} = 768.000 \times \frac{0,005}{\frac{1}{3}} = 768.000 \times 0,005 \times 3
PMT=768.000×0,015=11.520PMT = 768.000 \times 0,015 = 11.520

Portanto, o valor mensal que deve ser depositado é R$ 11.520,00.

Análise das alternativas

  • A) R$ 5.970,00 – Erro: esse valor resultaria de um montante alvo muito menor (por exemplo, usar E em vez de M resultaria em PMT = 8.640, não este valor).

  • B) R$ 9.690,00 – Erro: não corresponde ao cálculo correto, provavelmente confusão com algum valor intermediário.

  • C) R$ 11.520,00 – ✅ Correta. Conforme demonstrado.

  • D) R$ 18.850,00 – Erro: muito acima do valor correto; poderia vir de um montante alvo maior ou erro na taxa.

  • E) R$ 26.880,00 – Erro: valor exagerado, talvez por usar n=360 em vez de n=60.

PEGA ESSA DICA!

Em questões que envolvem SAC e série uniforme, identifique claramente qual é o montante alvo: se é o valor presente (financiamento) ou seu valor futuro. A banca usou a expressão “mesmo montante que pretendia inicialmente financiar” para indicar o valor futuro equivalente, já que o dinheiro renderia à mesma taxa.

Gabarito: letra C.

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