Questão de Matemática Financeira — Juros compostos — FGV 2021

Juros Compostos – Valor Presente de uma Série Geométrica

Gabarito: letra B (R$ 20.000,00). O capital necessário no momento da primeira retirada é o valor presente de uma série de 240 retiradas mensais em progressão geométrica crescente (0,7% a.m.), descontadas à taxa de 6% a.m., considerando que a primeira retirada ocorre no mesmo instante (série antecipada). A fórmula do valor presente para uma série antecipada com primeiro termo P, razão q = (1+g)/(1+i) e n períodos é VP = P × (1 – qⁿ)/(1 – q). Como q = 0,95 e n é grande, qⁿ ≈ 0, resultando em VP = 1000 / 0,05 = 20.000.

A questão cobra o conceito de valor presente de uma renda (anuidade) com pagamentos variando em progressão geométrica, tema comum em matemática financeira. A chave é identificar que a primeira retirada é feita no momento zero (antecipada) e que o número de períodos (240 meses) torna desprezível o termo (1+g)/(1+i) elevado a 240.

Resolução passo a passo

1. Identificar os dados:

   • Taxa de juros da aplicação: i = 6% a.m. = 0,06

   • Taxa de crescimento das retiradas: g = 0,7% a.m. = 0,007

   • Primeira retirada: P = R$ 1.000,00

   • Número de retiradas: 20 anos × 12 meses = 240 meses

   • Regime: juros compostos

1. Modelo matemático:

   As retiradas formam uma progressão geométrica: P, P·(1+g), P·(1+g)², ..., P·(1+g)²³⁹.

   O valor presente no momento da primeira retirada (data 0) é a soma dos valores descontados de cada retirada. Como a primeira retirada é no instante 0, temos uma renda antecipada.

O valor presente de uma série geométrica antecipada com n termos é:

onde $q = \frac{1+g}{1+i} = \frac{1,007}{1,06} = 0,95$

1. Substituir os valores:

1. Avaliar o termo 0,95²⁴⁰:

   Como 0,95 < 1, 0,95²⁴⁰ é extremamente pequeno (aproximadamente 4,5×10⁻⁶). Portanto, 1 – 0,95²⁴⁰ ≈ 1.

1. Calcular o VP:

Assim, o montante acumulado no momento da primeira retirada era de R$ 20.000,00.

Análise das alternativas

• A) R$ 10.000,00 — ❌ Incorreta. Esse valor corresponderia a uma série com i–g = 10% (1000/0,10), ou a uma interpretação de série postecipada com i–g maior.

• B) R$ 20.000,00 — ✅ Correta. Conforme demonstrado.

• C) R$ 100.000,00 — ❌ Incorreta. Valor muito acima do correto; talvez confundindo com (1+i)/(i–g) = 1,06/0,053 ≈ 20, mas multiplicado por 5.000?

• D) R$ 200.000,00 — ❌ Incorreta. Se fosse série postecipada com i–g = 0,053, daria ≈18.868; não chega a 200.000.

• E) R$ 1.120.000,00 — ❌ Incorreta. Valor totalmente fora da ordem de grandeza.

Gabarito: letra B.