Questão de Matemática Financeira — Desconto Bancário (Comercial ou por fora) Simples — FGV 2021

Desconto Simples Bancário e Juros Compostos

Gabarito: letra B. A taxa de desconto simples por fora que equivale ao empréstimo com juros compostos de 600% ao semestre com capitalização mensal por 2 meses é de 75% ao bimestre. Isso porque a taxa efetiva do empréstimo é de 300% no bimestre, e no desconto simples por fora, a relação entre a taxa de desconto $d$ e a taxa efetiva $i$ é dada por $i = \frac{d}{1-d}$. Igualando a 300% obtém-se $d = 75\%$.

Primeiro, calcula-se a taxa mensal efetiva do empréstimo: a taxa nominal de 600% ao semestre com capitalização mensal equivale a uma taxa mensal de $\frac{600\%}{6} = 100\%$ ao mês (juros compostos). Assim, para 2 meses, o montante é $M = C \cdot (1+1)^2 = 4C$, ou seja, juros de $300\%$ no período.

No desconto simples bancário (por fora), o valor atual é $A = N \cdot (1 - d \cdot t)$, onde $t=1$ bimestre. A taxa efetiva de juros da operação de desconto é $i = \frac{N}{A} - 1 = \frac{1}{1-d} - 1 = \frac{d}{1-d}$. Igualando a $300\% = 3$, temos:

Portanto, a alternativa correta é a B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

37,5% ao bimestre. Esse valor corresponderia a uma taxa efetiva de $\frac{0,375}{1-0,375} \approx 0,6$ (60%), muito inferior aos 300% necessários.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

75% ao bimestre, conforme demonstrado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

100% ao bimestre. Se $d=1$, o desconto total seria o valor nominal, o que não faz sentido financeiro. A taxa efetiva seria infinita.

Alternativa D — ❌ Incorreta

150% ao bimestre. Isso daria taxa efetiva de $\frac{1,5}{1-1,5} = -3$, impossível (desconto maior que o valor nominal para t=1? Na verdade, $d>1$ significa que o valor atual seria negativo, o que não é válido para desconto simples por fora).

Alternativa E — ❌ Incorreta

200% ao bimestre. Igualmente, $d>1$ inviabiliza a operação.

Gabarito: letra B.