Questão de Engenharia Civil — Estruturas — FGV 2021

Cálculo de tensões principais em estado plano de tensões

Gabarito: letra C. As tensões principais são calculadas pela fórmula $\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 }$. Substituindo $\sigma_x = -40\,\text{MPa}$, $\sigma_y = 60\,\text{MPa}$, $\tau_{xy} = -37,5\,\text{MPa}$, obtém-se $\sigma_1 = 72,5\,\text{MPa}$ e $\sigma_2 = -52,5\,\text{MPa}$, que corresponde exatamente à alternativa C.

A questão testa a aplicação direta da expressão das tensões principais para um estado plano de tensões. O aluno deve lembrar que a tensão de cisalhamento entra com sinal, mas o quadrado elimina o sinal.

Passo a passo:

1. Tensão média:

   [

   \sigma_{$\text{méd}$} = $\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$ = $\frac{-40 + 60}{2}$$= 10\,$$\text{MPa}$

   ]

1. Termo do radical:

   [

   $\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 = \left( \frac{-40 - 60}{2} \right)^2 = \left( \frac{-100}{2} \right)^2 = (-50)^2 = 2500$

   ]

   [

   \tau_{xy}^2 = (-37,5)^2 = 1406,25

   ]

   [

   $\text{Radical}$ = $\sqrt{2500 + 1406,25}$ = $\sqrt{3906,25}$$= 62,5\,$$\text{MPa}$

   ]

1. Tensões principais:

   [

   $\sigma_1 = 10 + 62,5 = 72,5\,$$\text{MPa}$

   ]

   [

   $\sigma_2 = 10 - 62,5 = -52,5\,$$\text{MPa}$

   ]

Portanto, as tensões principais são 72,5 MPa (tração) e –52,5 MPa (compressão), respectivamente.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo confirma o par 72,5 MPa e –52,5 MPa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores 67,5 e –47,5 resultariam se o radical fosse 57,5 MPa, o que não corresponde ao valor correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os valores 70 e –50 resultariam de radical 60 MPa, também incorreto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Os valores 75 e –55 precisariam de radical 65 MPa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os valores 77,5 e –57,5 precisariam de radical 67,5 MPa.

A confusão mais comum é errar no cálculo do radical, seja por não elevar ao quadrado corretamente ou por esquecer de somar os termos.

Gabarito: letra C.