GabaritoC — 72,5 MPa e – 52,5 MPa;
Gabarito: letra C. As tensões principais são calculadas pela fórmula (\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 }). Substituindo (\sigma_x = -40\,\text{MPa}), (\sigma_y = 60\,\text{MPa}), (\tau_{xy} = -37,5\,\text{MPa}), obtém-se (\sigma_1 = 72,5\,\text{MPa}) e (\sigma_2 = -52,5\,\text{MPa}), que corresponde exatamente à alternativa C.
A questão testa a aplicação direta da expressão das tensões principais para um estado plano de tensões. O aluno deve lembrar que a tensão de cisalhamento entra com sinal, mas o quadrado elimina o sinal.
Tensão média:
[
\sigma_{\text{méd}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{-40 + 60}{2} = 10\,\text{MPa}
]
Termo do radical:
[
\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 = \left( \frac{-40 - 60}{2} \right)^2 = \left( \frac{-100}{2} \right)^2 = (-50)^2 = 2500
]
[
\tau_{xy}^2 = (-37,5)^2 = 1406,25
]
[
\text{Radical} = \sqrt{2500 + 1406,25} = \sqrt{3906,25} = 62,5\,\text{MPa}
]
Tensões principais:
[
\sigma_1 = 10 + 62,5 = 72,5\,\text{MPa}
]
[
\sigma_2 = 10 - 62,5 = -52,5\,\text{MPa}
]
Portanto, as tensões principais são 72,5 MPa (tração) e –52,5 MPa (compressão), respectivamente.
O cálculo confirma o par 72,5 MPa e –52,5 MPa.
Os valores 67,5 e –47,5 resultariam se o radical fosse 57,5 MPa, o que não corresponde ao valor correto.
Os valores 70 e –50 resultariam de radical 60 MPa, também incorreto.
Os valores 75 e –55 precisariam de radical 65 MPa.
Os valores 77,5 e –57,5 precisariam de radical 67,5 MPa.
A confusão mais comum é errar no cálculo do radical, seja por não elevar ao quadrado corretamente ou por esquecer de somar os termos.
Gabarito: letra C.
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