Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg047095

Tamanho da amostra para estimar a média

Gabarito: letra E. O menor tamanho amostral é 1.537. Com desvio padrão populacional conhecido (σ = 5), nível de confiança de 95% (z = 1,96) e margem de erro E = 0,25, aplica-se a fórmula $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$ , que resulta em 1.536,64; como o tamanho da amostra deve ser inteiro e a margem de erro não pode ser ultrapassada, arredonda-se para cima, obtendo 1.537.

A questão trata do cálculo do tamanho amostral necessário para estimar uma média populacional com um erro máximo pré-estabelecido, quando o desvio padrão populacional é conhecido. Nesse caso, a distribuição amostral da média é normal (ou aproximadamente normal, pelo Teorema Central do Limite), e a margem de erro (ou erro máximo) é dada por:

E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Isolando $n$ , obtemos a fórmula direta:

n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2

O valor de $z$ para 95% de confiança é 1,96 (valor clássico da distribuição normal padrão). Substituindo os dados do enunciado:

n = \left(\frac{1,96 \times 5}{0,25}\right)^2 = \left(\frac{9,8}{0,25}\right)^2 = (39,2)^2 = 1.536,64

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e a margem de erro aceita é de no máximo 0,25, devemos arredondar para cima — se usássemos 1.536, a margem de erro seria ligeiramente maior que 0,25, violando a condição. Portanto, o menor tamanho amostral que atende à exigência é 1.537.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 30 é completamente fora do cálculo. Ele não corresponde a nenhum passo intermediário relevante — é um distrator que pode atrair quem confunde a fórmula do tamanho amostral com a do erro padrão ou com o valor de $z$ (1,96 ≈ 2, mas 30 não é 2). Não há base estatística para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1.500 é um valor próximo do resultado, mas ainda abaixo do necessário. Se o analista usasse n = 1.500, a margem de erro seria:

E = 1,96 \times \frac{5}{\sqrt{1500}} \approx 1,96 \times 0,1291 \approx 0,253

Ou seja, a margem de erro ultrapassaria 0,25, não atendendo à exigência do enunciado. É um distrator que testa se o candidato arredonda corretamente para cima.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1.535 também é um valor próximo, mas ainda insuficiente. Com n = 1.535:

E = 1,96 \times \frac{5}{\sqrt{1535}} \approx 1,96 \times 0,1276 \approx 0,2501

A margem de erro seria ligeiramente superior a 0,25, violando a condição. O candidato que calcula 1.536,64 e arredonda para baixo (ou trunca) cai nessa alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1.536 é o valor que resulta do arredondamento para baixo de 1.536,64. No entanto, com n = 1.536:

E = 1,96 \times \frac{5}{\sqrt{1536}} \approx 1,96 \times 0,1276 \approx 0,2500

A margem de erro seria aproximadamente 0,25, mas como o cálculo exato é 1.536,64, o arredondamento para baixo deixaria a margem de erro ligeiramente acima de 0,25. A regra é sempre arredondar para cima quando o resultado não é inteiro, para garantir que a margem de erro não seja excedida.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é:

n = \left(\frac{1,96 \times 5}{0,25}\right)^2 = \left(\frac{9,8}{0,25}\right)^2 = (39,2)^2 = 1.536,64

Como o tamanho da amostra deve ser inteiro e a margem de erro não pode ultrapassar 0,25, arredonda-se para cima, obtendo 1.537. Esse é o menor tamanho amostral que garante a precisão exigida.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora o arredondamento. O resultado da fórmula é 1.536,64, e muitos candidatos arredondam para baixo (1.536) ou truncam, caindo na alternativa D. A regra é clara: quando o tamanho amostral não é inteiro, deve-se arredondar sempre para cima, pois a margem de erro é um limite máximo que não pode ser ultrapassado. Com 1.536, a margem de erro seria ligeiramente maior que 0,25, violando a condição do enunciado.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de tamanho amostral, memorize a fórmula $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$ e lembre-se: o resultado quase nunca é inteiro, então arredonde sempre para cima. Além disso, decore os valores de $z$ mais cobrados: 90% → 1,645; 95% → 1,96; 99% → 2,576. Isso agiliza a resolução e evita erros de tabela.

Gabarito: letra E