Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2022

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 52,00 (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema envolve um sistema de equações do 1º grau, que é um conjunto de duas ou mais equações com duas ou mais incógnitas que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Aqui, as incógnitas são os preços do quilo de carne e do quilo de frango. A relação que governa é que o custo total de uma compra é a soma dos produtos de cada quantidade pelo seu preço unitário. Se o preço da carne aumenta, o custo total aumenta proporcionalmente à quantidade comprada; o mesmo vale para o frango. Nesta questão, precisamos montar duas equações a partir das duas compras e resolvê-las para encontrar os preços individuais, para então somá-los.

O que a questão dá

• 2 kg de carne + 1 kg de frango = R$ 92,00

• 1 kg de carne + 3 kg de frango = R$ 76,00

O que queremos: o preço de 1 kg de carne + 1 kg de frango

Passo 1 — Definir as incógnitas

Para transformar o problema em linguagem matemática, precisamos dar nomes aos valores desconhecidos: o preço do quilo de carne e o preço do quilo de frango. Isso permite escrever as equações que representam as compras.

Passo 2 — Montar as equações das compras

Cada compra é uma equação: o custo total é a soma do preço da carne vezes a quantidade comprada com o preço do frango vezes a quantidade. Isso relaciona as incógnitas com os valores dados.

Por que esta fórmula: A equação do custo total é a soma dos produtos quantidade × preço para cada item. Como temos duas compras, obtemos duas equações que formam o sistema.

De onde vem cada valor: $c$ = incógnita: preço do kg de carne · $f$ = incógnita: preço do kg de frango · $2$ = enunciado: 2 kg de carne na primeira compra · $1$ = enunciado: 1 kg de frango na primeira compra · $92$ = enunciado: total pago na primeira compra · $3$ = enunciado: 3 kg de frango na segunda compra · $76$ = enunciado: total pago na segunda compra

Passo 3 — Isolar uma incógnita

Para resolver o sistema, um método é substituir uma incógnita na outra equação. Isolamos c na segunda equação, pois ela tem coeficiente 1, facilitando a conta.

Por que esta fórmula: Isolar c significa deixá-lo sozinho de um lado da igualdade. Subtraímos 3f dos dois lados para manter a igualdade.

De onde vem cada valor: $76$ = passo 2: segunda equação · $3f$ = passo 2: termo com f na segunda equação

Passo 4 — Substituir na primeira equação

Com c expresso em função de f, substituímos na primeira equação para obter uma equação só com f. Isso permite encontrar o valor de f.

Por que esta fórmula: Substituição é o método de trocar a variável isolada na outra equação. Aqui, trocamos c por (76 - 3f) na equação 2c + f = 92.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 2: coeficiente de c na primeira equação · $76 - 3f$ = passo 3: expressão de c · $f$ = passo 2: termo f da primeira equação · $92$ = passo 2: total da primeira equação

Passo 5 — Simplificar a equação

Precisamos resolver a equação para achar f. Primeiro, distribuímos o 2 e combinamos os termos com f.

Por que esta fórmula: A distributiva multiplica o 2 por cada termo dentro do parêntese. Depois, somamos os termos semelhantes: -6f + f = -5f.

De onde vem cada valor: $152$ = passo 4: 2 × 76 · $-6f$ = passo 4: 2 × (-3f) · $f$ = passo 4: termo f · $92$ = passo 4: total

Passo 6 — Isolar f

Agora temos uma equação simples com f. Precisamos deixar f sozinho para descobrir seu valor.

Por que esta fórmula: Subtraímos 152 dos dois lados para eliminar o termo constante, depois dividimos por -5 para obter f.

De onde vem cada valor: $-5f$ = passo 5: termo com f · $92$ = passo 5: constante do lado direito · $152$ = passo 5: constante do lado esquerdo

Passo 7 — Calcular o preço da carne

Com f conhecido, usamos a expressão de c isolada no passo 3 para achar o preço da carne.

Por que esta fórmula: Substituímos o valor de f na expressão c = 76 - 3f.

De onde vem cada valor: $76$ = passo 3: termo constante · $3$ = passo 3: coeficiente de f · $12$ = passo 6: valor de f

Passo 8 — Somar os preços

A pergunta pede o total de 1 kg de carne e 1 kg de frango, então somamos os valores encontrados.

Por que esta fórmula: A soma dos preços unitários é a operação final.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 7: preço da carne · $f$ = passo 6: preço do frango

Resposta: R$ 52,00 (alternativa C)