Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2022

Estimadores da Média Populacional: Viesado vs. Não Viesado

Gabarito: letra D. Um estimador é não viesado (ou não tendencioso) quando o seu valor esperado é igual ao parâmetro que se pretende estimar, ou seja, $E[\hat{\theta}] = \theta$. Para a média populacional $\mu$, uma combinação linear de variáveis aleatórias $\sum a_i X_i$ é um estimador não viesado se, e somente se, a soma dos coeficientes for igual a 1 ($\sum a_i = 1$), dado que $E[X_i] = \mu$ para todos os elementos da amostra.

Na estatística inferencial, a média amostral $\bar{X}$ é o estimador não viesado mais comum. Quando temos uma amostra aleatória $X_1, X_2, X_3$, qualquer combinação linear da forma $\hat{\mu} = a_1 X_1 + a_2 X_2 + a_3 X_3$ será um estimador não viesado de $\mu$ se $a_1 + a_2 + a_3 = 1$. Se a soma dos coeficientes for diferente de 1, o estimador será viesado, pois $E[\hat{\mu}] = (a_1 + a_2 + a_3)\mu \neq \mu$.

Alternativa A — ✅ Correta (Afirmação verdadeira)

O estimador é $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2$. A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Portanto, é um estimador não viesado.

Alternativa B — ✅ Correta (Afirmação verdadeira)

O estimador é $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_3$. A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Portanto, é um estimador não viesado.

Alternativa C — ✅ Correta (Afirmação verdadeira)

O estimador é $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{1}{4}X_3$. A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$. Portanto, é um estimador não viesado.

Alternativa D — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

O estimador é $\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2 + \frac{1}{2}X_3$. A soma dos coeficientes é $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1,5$. Como a soma é diferente de 1, o valor esperado do estimador é $1,5\mu$, o que caracteriza um estimador viesado.

Alternativa E — ✅ Correta (Afirmação verdadeira)

O estimador é $X_2$ (ou $1 \cdot X_2$). A soma dos coeficientes é 1. Portanto, é um estimador não viesado da média populacional.

Gabarito: letra D.