Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2022

Poder do teste de hipóteses

Gabarito: letra E. O poder do teste (ou potência) é definido como $1 - \beta$, em que $\beta$ é a probabilidade do erro do tipo II — ou seja, é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. O poder depende do nível de significância $\alpha$: quanto maior $\alpha$, maior o poder. Portanto, a afirmativa de que o poder "independe do nível de significância" é falsa, sendo essa a alternativa que a banca pede como "não é possível afirmar".

O poder de um teste é um conceito central em inferência estatística. Ele mede a capacidade do teste de detectar um efeito real, ou seja, de rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa. Formalmente, se $\beta$ é a probabilidade do erro do tipo II (não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa), o poder é $1 - \beta$.

Os fatores que afetam o poder são:

• Tamanho da amostra ($n$): quanto maior a amostra, maior o poder, pois a variabilidade da estimativa diminui e a região de rejeição se torna mais sensível.

• Nível de significância ($\alpha$): quanto maior $\alpha$, maior o poder, pois a região de rejeição aumenta, tornando mais fácil rejeitar $H_0$.

• Verdadeiro valor do parâmetro: quanto mais distante o valor real do parâmetro estiver do valor hipotetizado em $H_0$, maior o poder, pois a distribuição da estatística sob $H_1$ se afasta daquela sob $H_0$.

A relação entre $\alpha$ e $\beta$ não é direta: não existe uma fórmula que os ligue de forma simples, e $\alpha + \beta$ não é necessariamente igual a 1. A banca explora justamente essa confusão.

Alternativa A — ✅ Correta

A definição está correta: o poder é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Isso é exatamente $1 - \beta$, o complementar do erro do tipo II.

Alternativa B — ✅ Correta

O poder é $1 - \beta$, ou seja, a unidade (1) menos a probabilidade do erro do tipo II. A alternativa diz "igual à unidade deduzida da probabilidade de erro do tipo II", o que corresponde a $1 - \beta$. Correta.

Alternativa C — ✅ Correta

Quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste. Isso ocorre porque o erro padrão diminui, a região de rejeição se torna mais precisa e a probabilidade de detectar um efeito real aumenta. Correta.

Alternativa D — ✅ Correta

O poder é afetado pelo verdadeiro valor do parâmetro testado. Quanto mais distante o valor real estiver do valor sob $H_0$, maior o poder, pois a distribuição da estatística sob a alternativa se afasta da distribuição sob a nula. Correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

O poder depende do nível de significância $\alpha$. Quanto maior $\alpha$, maior a região de rejeição e, consequentemente, maior o poder. A alternativa afirma o contrário, que o poder independe de $\alpha$, o que é falso. Como a questão pede a afirmação que não é possível fazer, esta é a resposta.

Gabarito: letra E