Questão de Estatística — Análise Multivariada — FGV 2022

Distribuição Normal: propriedades e aproximações

Gabarito: letra B — sequência V – V – F. A distribuição Normal é simétrica e unimodal, o que garante média = mediana = moda (1ª verdadeira); pelo Teorema Central do Limite, a Normal aproxima a Binomial para amostras grandes (2ª verdadeira); porém, quanto maior a variância, mais achatada é a curva — a 3ª afirmativa inverte a relação (falsa).

A distribuição Normal é a mais importante das distribuições contínuas de probabilidade. Sua função densidade tem formato de sino, é simétrica em torno da média e é completamente determinada por dois parâmetros: a média $\mu$ (que define o centro) e a variância $\sigma^2$ (que define a dispersão). Por ser simétrica e unimodal, as três medidas de posição — média, mediana e moda — coincidem no mesmo ponto central. Essa é uma propriedade exclusiva de distribuições simétricas e unimodais; em distribuições assimétricas, elas se separam (média puxada para a cauda mais longa, mediana entre média e moda).

A aproximação da Binomial pela Normal é um caso particular do Teorema Central do Limite: para $n$ grande, a distribuição da variável binomial $X \sim Bin(n,p)$ se aproxima de uma Normal com média $\mu = np$ e desvio padrão $\sigma = \sqrt{npq}$. Na prática, a aproximação é considerada boa quando $np \geq 5$ e $nq \geq 5$. Como a Binomial é discreta e a Normal é contínua, aplica-se a correção de continuidade (o valor discreto $x$ é representado pelo intervalo $x-0,5$ a $x+0,5$).

A terceira afirmativa explora uma confusão clássica: a relação entre variância e achatamento da curva. A curva Normal tem formato de sino; quanto maior a variância (ou desvio padrão), mais achatada e espalhada ela fica; quanto menor a variância, mais pontiaguda e concentrada em torno da média. A afirmativa inverte essa relação, dizendo que menor variância implica curva mais achatada — o oposto do que ocorre.

Afirmativa 1 — ✅ Verdadeira

A distribuição Normal é simétrica e unimodal, portanto média, mediana e moda coincidem. Isso é uma propriedade fundamental da Normal: a curva é perfeitamente simétrica em torno da média, e o ponto mais alto (moda) está exatamente no centro, onde também está a mediana (que divide a área ao meio). Em qualquer distribuição simétrica e unimodal, essas três medidas são iguais.

Afirmativa 2 — ✅ Verdadeira

Pelo Teorema Central do Limite, para amostras grandes a distribuição Binomial pode ser aproximada pela Normal. A aproximação é válida quando $np \geq 5$ e $nq \geq 5$, e a variável binomial $X$ é aproximadamente normal com média $\mu = np$ e desvio padrão $\sigma = \sqrt{npq}$. Essa é a base de muitos testes de proporção e intervalos de confiança para proporções.

Afirmativa 3 — ❌ Falsa

A afirmativa diz que "quanto menor a variância, mais achatada é a função densidade". Isso está invertido: quanto menor a variância, mais pontiaguda (menos achatada) é a curva, pois os valores se concentram próximos da média. Quanto maior a variância, mais achatada e espalhada é a curva. A banca trocou a relação — é a pegadinha clássica de inverter o sentido da relação entre dispersão e formato da curva.

Gabarito: letra B — sequência V – V – F.