Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2022

Eventos mutuamente exclusivos e a probabilidade da interseção

Gabarito: letra C. Se A e B são mutuamente exclusivos, eles não podem ocorrer simultaneamente, logo a probabilidade da interseção é zero: $P(A \cap B) = 0$. Essa é a definição clássica de eventos mutuamente exclusivos (ou mutuamente excludentes), que a alternativa C reproduz literalmente.

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não possuem elementos em comum no espaço amostral — a ocorrência de um exclui a possibilidade de ocorrência do outro. Por isso, a interseção entre eles é o conjunto vazio, e a probabilidade da interseção é zero. Essa é a propriedade que define a exclusividade mútua, e é exatamente o que a alternativa C afirma.

A confusão mais comum neste tema é misturar os conceitos de mutuamente exclusivos e independentes. Eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro, e aí sim vale a regra do produto $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Mas eventos mutuamente exclusivos não são independentes (a menos que um deles tenha probabilidade zero) — na verdade, são altamente dependentes, pois a ocorrência de um impede a do outro. A banca explora justamente essa troca: ela coloca a regra do produto (que é de independência) como se fosse de exclusividade mútua.

Outro ponto que merece atenção: para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é a soma das probabilidades individuais, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, e não o produto. A alternativa B inverte essa lógica ao afirmar que a união seria o produto das probabilidades — o que não tem fundamento em nenhum axioma de probabilidade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Essa é a regra do produto, que vale para eventos independentes, não para mutuamente exclusivos. Para eventos mutuamente exclusivos, a interseção é vazia e a probabilidade é zero. A banca troca o conceito de independência pelo de exclusividade mútua — armadilha clássica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$. A união de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. O produto não corresponde a nenhuma operação de união; é a regra da interseção para eventos independentes. Erro duplo: usa o produto onde deveria ser soma e o aplica à união.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $P(A \cap B) = 0$. É a definição de eventos mutuamente exclusivos: eles não podem ocorrer juntos, logo a interseção é o conjunto vazio e sua probabilidade é zero. Perfeita.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $P(A \cup B) = 0$. A união de dois eventos mutuamente exclusivos só seria zero se ambos tivessem probabilidade zero, o que não é garantido. Em geral, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) > 0$. A alternativa confunde união com interseção.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $P(A \cup B) = 1$. A união só seria 1 se os eventos fossem exaustivos (cobrissem todo o espaço amostral), o que não é informado. Eventos mutuamente exclusivos podem ter união com probabilidade menor que 1. A alternativa adiciona uma condição que não está no enunciado.

Na prova, ao ver "mutuamente exclusivos", escreva imediatamente $P(A \cap B) = 0$ ao lado — isso resolve a questão em segundos.

Gabarito: letra C.