Questão de Engenharia Mecânica — Sistemas Mecânicos — FGV 2022

Força de cisalhamento em punção

Gabarito: letra E. A força necessária para o furo é de aproximadamente 62,8 kN, calculada pelo produto da tensão de cisalhamento média (400 MPa) pela área da superfície lateral do furo (perímetro × profundidade). A área de cisalhamento é a superfície cilíndrica gerada pela punção, não a área da seção transversal do furo — essa é a distinção central da questão.

A operação de punção (ou puncionamento) é um processo de corte por cisalhamento: a punção, ao descer, comprime o material contra a matriz, e o corte ocorre quando a tensão de cisalhamento na chapa atinge o limite de resistência ao cisalhamento do material. A força necessária é dada por:

onde $\tau$ é a tensão de cisalhamento média e $A_{cisalhamento}$ é a área da superfície onde ocorre o corte. Nesse caso, a superfície de corte é a parede lateral do furo, que tem formato cilíndrico. A área dessa superfície é o perímetro da circunferência da punção multiplicado pela profundidade do furo:

com $d = 10\ \text{mm}$ (diâmetro da punção) e $h = 5\ \text{mm}$ (profundidade do furo).

Substituindo os valores:

A tensão de cisalhamento média é $\tau = 400\ \text{MPa} = 400\ \text{N/mm}^2$ (pois 1 MPa = 1 N/mm²). Portanto:

A pegadinha clássica desta questão é usar a área da seção transversal do furo ($A = \pi d^2/4 = 78,54\ \text{mm}^2$) em vez da área lateral. Quem faz isso encontra $F = 400 \cdot 78,54 = 31.416\ \text{N} \approx 31,4\ \text{kN}$, que corresponde à alternativa C. A banca explora exatamente essa confusão: a força de cisalhamento atua na superfície cilíndrica lateral, não na área circular da base.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor de 7,9 kN corresponde a usar a área da seção transversal com o diâmetro de 5 mm (metade do diâmetro da punção), ou seja, $A = \pi \cdot 5^2/4 = 19,63\ \text{mm}^2$, resultando em $F = 400 \cdot 19,63 = 7.854\ \text{N} \approx 7,9\ \text{kN}$. Esse valor não tem relação com o cálculo correto, pois o diâmetro da punção é 10 mm e a área de cisalhamento é a lateral.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor de 15,7 kN corresponde a usar a área lateral com o diâmetro de 5 mm (metade do diâmetro correto): $A = \pi \cdot 5 \cdot 5 = 78,54\ \text{mm}^2$, resultando em $F = 400 \cdot 78,54 = 31.416\ \text{N} \approx 31,4\ \text{kN}$ — mas esse é o valor da alternativa C. Na verdade, 15,7 kN é a metade de 31,4 kN, o que sugere que o candidato usou o diâmetro de 5 mm e depois dividiu por 2, ou usou a área da seção transversal com diâmetro de 10 mm e dividiu por 2. Não há fundamento físico para esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor de 31,4 kN é o resultado de usar a área da seção transversal do furo ($A = \pi \cdot 10^2/4 = 78,54\ \text{mm}^2$) em vez da área lateral. Esse é o erro mais comum: o candidato calcula a área do círculo (base do furo) e multiplica pela tensão, obtendo $F = 400 \cdot 78,54 = 31.416\ \text{N} \approx 31,4\ \text{kN}$. Mas a força de cisalhamento atua na superfície lateral do furo, não na base.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor de 47,1 kN corresponde a usar a área lateral com o diâmetro de 10 mm e profundidade de 7,5 mm (1,5 vezes a profundidade correta): $A = \pi \cdot 10 \cdot 7,5 = 235,62\ \text{mm}^2$, resultando em $F = 400 \cdot 235,62 = 94.248\ \text{N} \approx 94,2\ \text{kN}$ — não bate. Na verdade, 47,1 kN é 3/4 de 62,8 kN, o que pode vir de usar a área lateral com profundidade de 3,75 mm (metade de 7,5 mm) ou de um erro de cálculo. Não há justificativa física.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor de 62,8 kN é o resultado correto, obtido com a área da superfície lateral do furo: $A = \pi \cdot 10 \cdot 5 = 157,08\ \text{mm}^2$, multiplicada pela tensão de cisalhamento de 400 MPa (400 N/mm²), resultando em $F = 62.832\ \text{N} \approx 62,8\ \text{kN}$. A fórmula $F = \tau \cdot (\pi \cdot d \cdot h)$ é a aplicação direta do conceito de tensão de cisalhamento média em operações de corte.

Gabarito: letra E