Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2022

Soma de frações e números primos entre si

Gabarito: letra E. A soma $\frac{1}{6} + \frac{3}{8} + \frac{7}{10}$ resulta em $\frac{269}{120}$, e como 269 e 120 são primos entre si, $a + b = 269 + 120 = 389$. O valor da soma $a + b$ é 389.

Para somar frações com denominadores diferentes, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Os denominadores são 6, 8 e 10. Vamos calcular o MMC:

• 6 = 2 × 3

• 8 = 2³

• 10 = 2 × 5

O MMC é o produto dos fatores primos com seus maiores expoentes: $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

Agora, reescrevemos cada fração com o denominador comum 120:

• $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 20}{6 \times 20} = \frac{20}{120}$

• $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 15}{8 \times 15} = \frac{45}{120}$

• $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 12}{10 \times 12} = \frac{84}{120}$

Somando os numeradores:

A fração resultante é $\frac{149}{120}$. Precisamos verificar se 149 e 120 são primos entre si, ou seja, se o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 1. O número 149 é primo (não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 — $11 \times 13 = 143$, $13 \times 11 = 143$; na verdade, $149$ é primo, pois não é divisível por nenhum primo até $\sqrt{149} \approx 12,2$: 2, 3, 5, 7, 11). Como 149 não divide 120, o MDC é 1. Portanto, $a = 149$ e $b = 120$.

Assim, $a + b = 149 + 120 = 269$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 35 não corresponde a nenhuma etapa do cálculo. Ele poderia ser um distrator para quem soma os numeradores originais (1 + 3 + 7 = 11) ou os denominadores (6 + 8 + 10 = 24) de forma incorreta, mas não há relação com o resultado final.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 47 também não corresponde ao resultado. Pode ser um distrator para quem soma os numeradores (1 + 3 + 7 = 11) com algo, ou para quem erra o MMC. Não há fundamento matemático para esse número.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 181 não é o resultado. Pode ser um distrator para quem calcula a soma de forma incorreta, talvez somando os numeradores e denominadores separadamente e depois somando os resultados (1+3+7=11 e 6+8+10=24, 11+24=35, não 181). Ou pode ser um número aleatório.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 227 não é o resultado. Pode ser um distrator para quem erra o MMC ou a soma das frações. Não há relação com o cálculo correto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma correta é $\frac{149}{120}$. Como 149 e 120 são primos entre si, $a = 149$ e $b = 120$. Portanto, $a + b = 149 + 120 = 269$.

Gabarito: letra E