Matemática · FGV · 2022 | Questão sqc-fg049626

Análise Combinatória — Combinação Simples

Gabarito: letra C (15). O número de pares diferentes de policiais que podem ser escolhidos entre 6 é dado pela combinação de 6 elementos tomados 2 a 2, pois a ordem de escolha não importa: $C_{6,2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15$ . A questão cobra exatamente o conceito de combinação simples, em que se escolhe um subconjunto sem se preocupar com a ordem dos elementos.

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos de contagem. Quando precisamos escolher um grupo de elementos de um conjunto maior e a ordem não importa, usamos a combinação simples. A fórmula geral é:

C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

No caso, temos $n = 6$ policiais e queremos escolher $k = 2$ para o treinamento. Aplicando:

C_{6,2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{30}{2} = 15

Portanto, existem 15 pares diferentes de policiais que podem ser enviados.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é confundir combinação com arranjo. Se a ordem importasse (por exemplo, escolher um para ser o líder e outro para ser o vice), usaríamos arranjo: $A_{6,2} = 6 \times 5 = 30$ . Mas como o problema pede apenas "pares" de policiais, a ordem não importa, e por isso dividimos por $2!$ (as duas ordens possíveis de cada par).

Escolha de pares entre 6 — só Policiais escolhidos: 2; só Policiais não escolhidos: 4; Policiais escolhidos∩Policiais não escolhidos: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 10 corresponderia a $C_{5,2} = 10$ , ou seja, se houvesse apenas 5 policiais. Com 6 policiais, o cálculo correto é 15. A banca usa esse número como distrator para quem erra a quantidade de elementos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 12 não corresponde a nenhuma combinação simples direta com 6 elementos. Pode ser um distrator aleatório ou resultado de um cálculo equivocado, como $6 \times 2 = 12$ , ignorando a natureza combinatória do problema.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $C_{6,2} = 15$ . A ordem de escolha dos dois policiais não altera o par formado, então usamos combinação. O cálculo: $\frac{6 \times 5}{2} = 15$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 16 pode surgir de um erro de cálculo, como $6 \times 2 + 4 = 16$ , ou da confusão com $2^4 = 16$ . Não há fundamento combinatório para esse número.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 18 poderia ser obtido por $6 \times 3 = 18$ , mas não corresponde a nenhuma contagem correta. Também não é resultado de arranjo ( $A_{6,2} = 30$ ) nem de combinação ( $C_{6,2} = 15$ ).

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre combinação e arranjo. Se você pensasse que a ordem importa, calcularia $6 \times 5 = 30$ (arranjo) e não acharia a resposta nas alternativas — mas alguns candidatos podem dividir por 2 e chegar a 15, que é o correto. Outros podem simplesmente multiplicar $6 \times 2 = 12$ (alternativa B) ou $6 \times 3 = 18$ (alternativa E), sem perceber que se trata de escolher 2 entre 6, sem repetição e sem ordem. Fique atento: quando o problema fala em "pares", "grupos", "comissões", a ordem não importa → combinação.

PEGA ESSA DICA!

Para identificar se é combinação ou arranjo, pergunte-se: "Se eu trocar a ordem dos escolhidos, o resultado muda?" Se não muda, é combinação. No caso, escolher os policiais A e B é o mesmo que escolher B e A — logo, combinação. Na prova, lembre-se da fórmula $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ e, para valores pequenos, use o atalho: $C_{6,2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ .

Gabarito: letra C.