Matemática · FGV · 2022 | Questão sqc-fg049627

Variação percentual da área de um retângulo

Gabarito: letra B. A área do retângulo é o produto da base pela altura. Ao aumentar a base em 32% e diminuir a altura em 32%, a nova área é $1{,}32 \times 0{,}68 = 0{,}8976$ da área original, ou seja, uma redução de aproximadamente 10,24% — o que corresponde à alternativa B (diminuiu cerca de 10%).

O ponto central é entender que variações percentuais sucessivas não se somam nem se subtraem diretamente: elas se multiplicam na forma de fatores. Aumentar 32% equivale a multiplicar por $1{,}32$ ; diminuir 32% equivale a multiplicar por $0{,}68$ . O produto desses fatores dá o fator global de variação da área.

A pegadinha clássica é o candidato pensar que +32% e −32% se anulam, concluindo que a área não se altera (alternativa A). Isso seria verdade apenas se as variações fossem aditivas, mas como a área é um produto, o efeito é multiplicativo e sempre resulta em uma redução quando os percentuais são iguais em módulo (pois $1{,}32 \times 0{,}68 < 1$ ).

Vamos ao cálculo detalhado:

Seja $b$ a base original e $h$ a altura original. A área original é $A_0 = b \times h$ .

Após as modificações:

Nova base: $b' = b \times (1 + 0{,}32) = 1{,}32b$
Nova altura: $h' = h \times (1 - 0{,}32) = 0{,}68h$

Nova área:

A' = b' \times h' = (1{,}32b) \times (0{,}68h) = 1{,}32 \times 0{,}68 \times b \times h = 0{,}8976 \, A_0

A variação percentual é:

\frac{A' - A_0}{A_0} \times 100\% = (0{,}8976 - 1) \times 100\% = -10{,}24\%

Ou seja, a área diminuiu aproximadamente 10,24%, o que a banca arredonda para "cerca de 10%".

1Fator da base: 1,32
2Fator da altura: 0,68
3Produto: 0,8976
4Redução ≈ 10%

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a área não se alterou. Isso seria verdade se as variações se anulassem, mas como vimos, o fator global é $0{,}8976$ , menor que 1, indicando redução. A pegadinha é tratar as variações como aditivas, quando na verdade são multiplicativas.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A nova área é $0{,}8976$ da original, ou seja, uma redução de $10{,}24\%$ , que a banca aproxima para "cerca de 10%". O cálculo confirma: $1{,}32 \times 0{,}68 = 0{,}8976$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a área aumentou cerca de 10%. Isso ocorreria se o fator global fosse maior que 1, mas $0{,}8976 < 1$ , indicando redução. Além disso, o aumento de 10% seria o resultado de $1{,}1 \times 1{,}0$ , o que não corresponde aos fatores dados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a área diminuiu cerca de 20%. O valor correto é aproximadamente 10,24%. O número 20% poderia surgir de uma soma incorreta (32% − 32% = 0%) ou de um erro de cálculo, mas não corresponde ao produto correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a área aumentou cerca de 20%. Isso seria o oposto do resultado correto. O fator global é menor que 1, indicando redução, e o valor de 20% não tem relação com o cálculo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variações aditivas e multiplicativas. Muitos candidatos somam +32% e −32% e concluem que a área não muda (alternativa A). Lembre-se: em problemas de área, volume ou qualquer produto de grandezas, as variações percentuais devem ser multiplicadas na forma de fatores. Aqui, $1{,}32 \times 0{,}68 = 0{,}8976$ , o que dá uma redução de cerca de 10%.

PEGA ESSA DICA!

Para variações sucessivas, use sempre os fatores: aumento de $x\%$ → fator $1 + x/100$ ; redução de $x\%$ → fator $1 - x/100$ . Multiplique os fatores para obter a variação total. Se o produto for menor que 1, houve redução; se maior, aumento. Esse método evita erros de soma/subtração direta.

Gabarito: letra B