Um objeto linear encontra-se em frente a um anteparo vertical localizado a uma distância d. Introduz-se entres eles uma lente convergente, cujo eixo principal é horizontal. Verifica-se que existem duas posições, separadas por uma distância d/2, nas quais a lente sendo colocada, obtém-se imagens nítidas do objeto projetadas no anteparo. Quando a lente está mais próxima do objeto, a altura da imagem é i; quando a lente está mais afastada do objeto, a altura da imagem é i`.A razão i/i´ é igual a
A16.
B9.
C4.
D3.
E2.
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GabaritoB — 9.
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Lentes convergentes: método de Bessel
Gabarito: letra B (9). A razão entre as alturas das imagens é o quadrado da razão entre as distâncias objeto-lente nas duas posições, e o método de Bessel mostra que essa razão é 9 quando as duas posições da lente estão separadas por d/2. A resolução usa a equação de Gauss (1/f = 1/p + 1/p') e a equação do aumento linear transversal (A = i/o = -p'/p).
O problema descreve o método de Bessel para determinação da distância focal de uma lente convergente. Quando a distância entre objeto e anteparo (d) é maior que 4f, existem duas posições da lente que produzem imagem nítida no anteparo. Nessas posições, as distâncias objeto-lente (p) e lente-imagem (p') se permutam: se na primeira posição temos p₁ e p'₁, na segunda temos p₂ = p'₁ e p'₂ = p₁.
A separação entre as duas posições é dada por Δ = p₂ - p₁ = p'₁ - p₁. O enunciado informa que Δ = d/2. Como d = p₁ + p'₁, temos um sistema:
A razão entre as alturas das imagens é dada pela razão entre os aumentos lineares:
Como p₂ = p'₁ = 3d/4 e p'₂ = p₁ = d/4:
Portanto, a razão i/i' = 9.
1p₁ + p'₁ = d
2p'₁ − p₁ = d/2
3p₁ = d/4, p'₁ = 3d/4
4i/i' = (p'₁/p₁)² = 9
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Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor 16 seria obtido se a separação entre as posições fosse d/3, não d/2. Com Δ = d/3, teríamos p₁ = d/3 e p'₁ = 2d/3, resultando em razão (2)² = 4, não 16. O valor 16 não corresponde a nenhuma configuração simples do método de Bessel com os dados fornecidos.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, com Δ = d/2, as distâncias são p₁ = d/4 e p'₁ = 3d/4. A razão entre os aumentos é (3d/4 ÷ d/4) ÷ (d/4 ÷ 3d/4) = 3 ÷ (1/3) = 9. A alternativa correta é a letra B.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O valor 4 seria obtido se a razão entre as distâncias fosse 2 (ou seja, p'₁ = 2p₁). Isso ocorreria se Δ = d/3, não d/2. Com Δ = d/2, a razão entre as distâncias é 3, e o quadrado dessa razão é 9, não 4.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O valor 3 é a razão entre as distâncias p'₁/p₁ = 3, mas a razão entre as alturas das imagens é o quadrado dessa razão, pois os aumentos se invertem entre as duas posições. Portanto, i/i' = 3² = 9, não 3.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O valor 2 seria obtido se a razão entre as distâncias fosse √2, o que não ocorre com Δ = d/2. A razão entre as distâncias é 3, e a razão entre as alturas é 9.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a razão das distâncias (p'₁/p₁ = 3) e a razão das alturas das imagens (i/i' = 9). Como os aumentos se invertem entre as duas posições, a razão das alturas é o quadrado da razão das distâncias. O candidato que calcula apenas p'₁/p₁ = 3 marca a letra D, mas a resposta correta é 9.
PEGA ESSA DICA!
No método de Bessel, memorize a relação: se a separação entre as duas posições é Δ, então p₁ = (d - Δ)/2 e p'₁ = (d + Δ)/2. A razão entre as alturas é sempre [(d + Δ)/(d - Δ)]². Com Δ = d/2, isso dá [(3d/2)/(d/2)]² = 3² = 9.