Questão de Física — Movimento Harmônico — FGV 2022

Movimento Harmônico Simples: velocidade a partir da função horária

Gabarito: letra C. A velocidade é a derivada temporal da posição: $v = \frac{dx}{dt} = -0,2 \cdot 3\pi \cdot \sin(3\pi t + \pi)$. Em $t = 1\,\text{s}$, o argumento é $3\pi + \pi = 4\pi$, e $\sin(4\pi) = 0$, logo $v = 0$. A alternativa correta é a letra C.

No movimento harmônico simples (MHS), a posição é descrita por uma função senoidal do tipo $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$, onde $A$ é a amplitude, $\omega$ a frequência angular e $\varphi_0$ a fase inicial. A velocidade instantânea é obtida derivando a posição em relação ao tempo: $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$. Esse é o procedimento padrão da cinemática do MHS — a velocidade é máxima nos extremos da trajetória (quando o cosseno é zero) e nula nos pontos de inversão (quando o cosseno é ±1).

A banca explora aqui um ponto sutil: o candidato que substitui $t = 1$ diretamente na posição e depois deriva mentalmente pode se perder nos sinais. Mas o caminho é direto: calcular o argumento $3\pi \cdot 1 + \pi = 4\pi$, reconhecer que $\sin(4\pi) = 0$ e concluir que a velocidade é nula naquele instante. Não há necessidade de calcular o valor de $\pi$ nem de se preocupar com o sinal — o seno se anula.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor –1,8 m/s não corresponde a nenhum instante da função dada. Ele seria obtido se o candidato calculasse $v = -A\omega = -0,2 \cdot 3\pi \approx -1,88\,\text{m/s}$ (o valor máximo da velocidade) e o associasse erroneamente a $t = 1\,\text{s}$, ignorando que o seno se anula nesse instante. A velocidade máxima ocorre quando $\sin(\omega t + \varphi_0) = \pm 1$, o que não acontece em $t = 1\,\text{s}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor –0,6 m/s não tem relação com o cálculo correto. Ele poderia surgir de uma confusão entre a amplitude e a frequência angular, ou de um erro na derivação (por exemplo, esquecer de multiplicar pela amplitude ou pela frequência). Nenhuma manipulação correta da função dada produz esse número em $t = 1\,\text{s}$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A velocidade é nula em $t = 1\,\text{s}$. Derivando $x = 0,2\cos(3\pi t + \pi)$, obtemos $v = -0,2 \cdot 3\pi \sin(3\pi t + \pi)$. Para $t = 1$, o argumento é $4\pi$, e $\sin(4\pi) = 0$. Portanto, $v = 0$. Isso significa que a esfera está em um ponto de inversão do movimento, onde a velocidade instantânea é zero.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor +0,6 m/s é o simétrico do distrator da letra B. A banca oferece os pares ±0,6 e ±1,8 para testar se o candidato domina o sinal da velocidade. Como o seno se anula, o sinal é irrelevante — a velocidade é zero, não positiva nem negativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor +1,8 m/s é o simétrico do distrator da letra A. Assim como em A, ele corresponde à velocidade máxima ($A\omega \approx 1,88\,\text{m/s}$), mas com sinal positivo. Em $t = 1\,\text{s}$, a velocidade não é máxima — é nula.

Gabarito: letra C