Matemática · FGV · 2022 | Questão sqc-fg054992

Trigonometria — Cosseno de um múltiplo do arco

Gabarito: letra B. Como $\cos x = \frac{1}{2}$ , temos $x = \frac{\pi}{3}$ (ou $60°$ ), e portanto $20x = \frac{20\pi}{3}$ . Reduzindo ao primeiro quadrante: $\frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3}$ , e como o cosseno tem período $2\pi$ , $\cos\left(\frac{20\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ . A alternativa correta é a letra B.

A questão testa dois conceitos centrais da trigonometria: o cosseno dos ângulos notáveis e a redução ao primeiro quadrante (ou, equivalentemente, a periodicidade da função cosseno). Sabemos que $\cos 60° = \frac{1}{2}$ , logo $x = 60°$ . Multiplicando por 20, obtemos $20x = 1200°$ . Agora, precisamos calcular $\cos 1200°$ .

A função cosseno é periódica com período $360°$ (ou $2\pi$ radianos). Isso significa que $\cos(\theta) = \cos(\theta + 360°k)$ para qualquer inteiro $k$ . Para reduzir $1200°$ a um ângulo entre $0°$ e $360°$ , dividimos 1200 por 360: $1200 = 3 \times 360 + 120$ . Portanto, $\cos 1200° = \cos 120°$ .

O ângulo de $120°$ está no segundo quadrante. Pela redução ao primeiro quadrante, $\cos 120° = -\cos(180° - 120°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$ . Esse é exatamente o valor da alternativa B.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a tentação de calcular $\cos 20x$ como se fosse $20 \cdot \cos x$ , o que daria $20 \times \frac{1}{2} = 10$ (alternativa E). Isso é um erro grave: o cosseno não é linear, ou seja, $\cos(20x) \neq 20\cos x$ . A função cosseno é periódica e não distribui sobre multiplicação. Para resolver corretamente, é preciso encontrar o ângulo $x$ , multiplicá-lo por 20 e então reduzir ao primeiro quadrante. Com treino, você identifica essa pegadinha de longe 💪.

Caso	Atribuição	Resultado
Caso 1 (x = 60°)	cos x = 1/2 → x = 60°	20x = 1200°
Caso 2 (redução por período)	1200° = 3 × 360° + 120°	cos 1200° = cos 120°
Caso 3 (redução ao 1º quadrante)	cos 120° = −cos(180° − 120°)	cos 120° = −cos 60°
Caso 4 (valor final)	−cos 60° = −1/2	Gabarito: B
Caso 5 (pegadinha E)	20 × cos x = 20 × 1/2	10 (incorreto, pois cos não é linear)

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria o cosseno de $0°$ ou de $360°$ (múltiplos de $2\pi$ ). Aqui, $20x = 1200°$ , que não é múltiplo de $360°$ (pois $1200 \div 360 = 3$ com resto 120). Portanto, o cosseno não é 1.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado: $x = 60°$ , $20x = 1200°$ , e $\cos 1200° = \cos 120° = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$ . A redução ao segundo quadrante inverte o sinal do cosseno, que é negativo nesse quadrante.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0 ocorre para ângulos de $90°$ e $270°$ (ou múltiplos ímpares de $\frac{\pi}{2}$ ). $1200°$ não é um desses ângulos, pois $1200 \div 90 = 13,33$ (não inteiro). Portanto, o cosseno não é zero.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $-1$ ocorre para ângulos de $180°$ (ou $\pi$ ). $1200°$ não é múltiplo de $180°$ (pois $1200 \div 180 = 6,66$ ). O cosseno de $1200°$ é $-\frac{1}{2}$ , não $-1$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Este é o distrator clássico: $20 \times \cos x = 20 \times \frac{1}{2} = 10$ . Mas $\cos(20x)$ não é igual a $20\cos x$ . A função cosseno não é linear; ela é periódica e limitada entre $-1$ e $1$ . Portanto, o resultado nunca poderia ser 10.

Gabarito: letra B