Questão de Estatística — Distribuição qui-quadrado — FGV 2022

Teste qui-quadrado de independência: graus de liberdade

Gabarito: letra B. No teste qui-quadrado de independência, o número de graus de liberdade é dado por $(L-1) \times (C-1)$, em que $L$ é o número de linhas e $C$ o número de colunas da tabela de contingência. Como a variável X tem 4 categorias e a variável Y tem 6, temos $k = (4-1) \times (6-1) = 3 \times 5 = 15$.

O teste qui-quadrado de independência (também chamado de teste de contingência) verifica se duas variáveis qualitativas (nominais ou ordinais) são independentes entre si. A hipótese nula ($H_0$) afirma que as variáveis são independentes, ou seja, que a distribuição de uma variável não depende das categorias da outra. A estatística de teste é calculada comparando as frequências observadas com as frequências esperadas sob $H_0$, e segue, aproximadamente, uma distribuição qui-quadrado com um número de graus de liberdade que depende do tamanho da tabela de contingência.

A fórmula dos graus de liberdade é:

em que $L$ é o número de linhas e $C$ o número de colunas da tabela. No enunciado, a variável X é dividida em 4 categorias e a variável Y em 6. Isso significa que a tabela de contingência terá 4 linhas e 6 colunas (ou vice-versa, dependendo de qual variável é colocada nas linhas e qual nas colunas). Portanto:

A pegadinha clássica da banca é inverter os fatores ou esquecer de subtrair 1 de cada dimensão. Por exemplo, um candidato apressado pode calcular $4 \times 6 = 24$ (alternativa D) ou $4 \times 6 - 1 = 23$ (que não aparece, mas mostra a confusão). Outro erro comum é usar $L \times C$ diretamente, resultando em 24, ou ainda confundir com o número de células da tabela (24). A fórmula correta sempre subtrai 1 de cada dimensão antes de multiplicar.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 12 seria obtido se a tabela tivesse, por exemplo, 4 linhas e 4 colunas ($(4-1)\times(4-1)=9$) ou 3 linhas e 5 colunas ($(3-1)\times(5-1)=8$), mas não corresponde a $(4-1)\times(6-1)$. Não há uma combinação simples de 4 e 6 que resulte em 12, a não ser que se faça $4 \times 3$ (ignorando o 6) ou $6 \times 2$ (ignorando o 4). É um distrator que explora a tentativa de usar apenas uma das dimensões.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula $k = (L-1) \times (C-1)$ com $L = 4$ e $C = 6$ (ou vice-versa), obtemos $k = 3 \times 5 = 15$. Este é exatamente o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado para o teste de independência com essa tabela de contingência.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 18 seria obtido se a tabela tivesse 4 linhas e 7 colunas ($(4-1)\times(7-1)=18$) ou 3 linhas e 10 colunas ($(3-1)\times(10-1)=18$), mas não com 4 e 6. Também poderia ser o resultado de $3 \times 6$ (esquecendo de subtrair 1 da dimensão de 4). É um distrator que mistura as operações de forma incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 24 é o produto direto $4 \times 6$, ou seja, o número total de células da tabela de contingência. Esse é um erro comum: confundir o número de células com o número de graus de liberdade. A fórmula correta exige subtrair 1 de cada dimensão antes de multiplicar.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 35 seria obtido se a tabela tivesse 6 linhas e 8 colunas ($(6-1)\times(8-1)=35$) ou 5 linhas e 9 colunas ($(5-1)\times(9-1)=32$), mas não com 4 e 6. Também poderia ser o resultado de $5 \times 7$ (subtraindo 1 de 6 e somando 1 a 4, o que não faz sentido). É um distrator que não corresponde a nenhuma operação lógica com os dados fornecidos.

Gabarito: letra B