Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055046

Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para a Distribuição Bernoulli

Gabarito: letra B. O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para o parâmetro $p$ de uma distribuição Bernoulli, baseando-se em uma amostra aleatória simples $X_1, X_2, ..., X_n$ , é a média amostral, representada pela expressão $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ .

O método da máxima verossimilhança busca o valor do parâmetro que maximiza a probabilidade de observar a amostra obtida. Para uma variável aleatória $X$ com distribuição Bernoulli de parâmetro $p$ , a função de probabilidade é dada por $P(X=x) = p^x (1-p)^{1-x}$ , para $x \in \{0, 1\}$ . Dada uma amostra aleatória simples de tamanho $n$ , a função de verossimilhança $L(p)$ é o produto das probabilidades individuais:

L(p) = \prod_{i=1}^{n} p^{x_i} (1-p)^{1-x_i} = p^{\sum x_i} (1-p)^{n - \sum x_i}

Para encontrar o estimador, maximizamos o logaritmo da função de verossimilhança (log-verossimilhança), $\ell(p) = \ln(L(p)) = (\sum x_i) \ln(p) + (n - \sum x_i) \ln(1-p)$ . Derivando em relação a $p$ e igualando a zero:

\frac{d\ell}{dp} = \frac{\sum x_i}{p} - \frac{n - \sum x_i}{1-p} = 0

Resolvendo para $p$ , obtemos $\hat{p} = \frac{\sum x_i}{n}$ , que corresponde à média aritmética dos valores da amostra. Este resultado é intuitivo, pois a proporção de sucessos na amostra é o melhor estimador para a probabilidade de sucesso na população.

1Função de verossimilhança L(p)
2Log-verossimilhança ℓ(p)
3Derivar e igualar a zero
4Isolar p → média amostral

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Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão apresentada, $\frac{1}{2n} \sum X_i$ , subestima o parâmetro $p$ , pois divide a soma dos sucessos por $2n$ em vez de $n$ . Não possui fundamentação estatística para a estimação de $p$ na distribuição Bernoulli.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Esta alternativa apresenta a média amostral $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ , que é o estimador de máxima verossimilhança para a proporção de sucessos $p$ em uma distribuição Bernoulli.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A expressão $\sum X_i$ representa apenas a contagem total de sucessos na amostra. Para ser um estimador de proporção, é necessário normalizar o valor pelo tamanho da amostra $n$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $1/n$ é apenas o inverso do tamanho da amostra e não leva em conta os valores observados ( $X_i$ ) da amostra, sendo, portanto, um estimador inválido para o parâmetro $p$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $\frac{1}{n} \sum X_i^2$ seria relevante para o cálculo do segundo momento ou da variância em distribuições diferentes, mas não é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro $p$ da Bernoulli (onde $X_i^2 = X_i$ , tornando-a idêntica à alternativa B, porém a notação sugere um cálculo distinto que não se aplica aqui).

PEGA ESSA DICA!

Lembre-se que para a distribuição Bernoulli, o EMV é sempre a proporção amostral de sucessos. Se a variável fosse Normal, o EMV da média populacional $\mu$ também seria a média amostral, mas o EMV da variância $\sigma^2$ seria a variância amostral dividida por $n$ (viciada), e não por $n-1$ .