Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055047

Transformações lineares de variáveis aleatórias: média e desvio padrão

Gabarito: letra A. Para a transformação linear $Y = 30 - 2X$ , a média de $Y$ é $E(Y) = 30 - 2E(X) = 30 - 2 \times 10 = 10$ , e o desvio padrão é $DP(Y) = |{-2}| \times DP(X) = 2 \times 4 = 8$ . A constante somada (30) não afeta a dispersão, e o fator multiplicativo entra em módulo no desvio padrão.

A questão cobra as propriedades de transformações lineares sobre as medidas de posição e dispersão. Quando uma variável aleatória $X$ é transformada em $Y = a + bX$ , valem duas regras fundamentais:

Média: $E(Y) = a + b \cdot E(X)$ — a constante $a$ desloca a média, e o coeficiente $b$ a escala.
Desvio padrão: $DP(Y) = |b| \cdot DP(X)$ — a constante $a$ não altera a dispersão; apenas o fator multiplicativo $b$ a escala, em módulo.

A pegadinha clássica da banca está em esquecer o módulo de $b$ : como $b = -2$ , o desvio padrão de $Y$ é $2 \times 4 = 8$ , e não $-8$ (desvio padrão nunca é negativo). Além disso, muitos candidatos confundem e elevam o fator ao quadrado (o que seria correto para a variância, não para o desvio padrão).

Caso	Atribuição (a, b, E(X), DP(X))	Resultado
Cálculo da média de Y	a = 30, b = −2, E(X) = 10	E(Y) = 30 + (−2) × 10 = 10
Cálculo do desvio padrão de Y	a = 30, b = −2, DP(X) = 4	DP(Y) =	−2	× 4 = 8

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A afirma que a média e o desvio padrão de Y valem, respectivamente, 10 e 8. Isso está correto: a média de Y é $E(Y) = 30 - 2 \times 10 = 10$ , e o desvio padrão é $DP(Y) = |{-2}| \times 4 = 8$ . A constante 30 apenas desloca a média, e o fator multiplicativo −2, em módulo, dobra o desvio padrão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B afirma que o desvio padrão é 16. Isso ocorre quando o candidato eleva o fator multiplicativo ao quadrado (como se fosse a variância) e depois esquece de extrair a raiz: $(-2)^2 \times 4 = 16$ . O correto é $|{-2}| \times 4 = 8$ . A média (10) está correta, mas o desvio padrão não.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que a média é 12. Isso ocorre quando o candidato soma a constante 30 com a média de X (10) e depois subtrai 2, obtendo $30 + 10 - 2 = 38$ ? Não, na verdade o erro típico é calcular $E(Y) = 30 - 2 \times 10 = 10$ , mas a alternativa C traz 12, que não corresponde a nenhum cálculo direto. Provavelmente o candidato fez $30 - 2 \times 9 = 12$ (usando um valor errado de média) ou confundiu a operação. O correto é 10.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D afirma que a média é 16. Isso ocorre quando o candidato calcula $E(Y) = 30 - 2 \times 10 = 10$ e depois soma 6 (talvez confundindo com o desvio padrão). O correto é 10.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma que a média é 16 e o desvio padrão é 16. A média está errada (o correto é 10) e o desvio padrão também (o correto é 8). O erro na média pode vir de $30 - 2 \times 7 = 16$ (usando um valor errado de média) e o desvio padrão de elevar ao quadrado sem extrair raiz.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância e desvio padrão na transformação linear. Na variância, o fator multiplicativo entra ao quadrado: $Var(Y) = b^2 \cdot Var(X)$ . No desvio padrão, entra em módulo: $DP(Y) = |b| \cdot DP(X)$ . Quem eleva ao quadrado e esquece a raiz cai na alternativa B (16). Fique atento: desvio padrão nunca é negativo e nunca é o quadrado do fator.

PEGA ESSA DICA!

Para transformações lineares $Y = a + bX$ , decore: média segue a mesma regra da função ( $E(Y) = a + bE(X)$ ), variância multiplica por $b^2$ , e desvio padrão multiplica por $|b|$ . A constante $a$ nunca afeta dispersão. Treine com questões que misturam esses três conceitos.

Gabarito: letra A