Questão de Estatística — Medidas de Posição - Tendência Central (Media, Mediana e Moda) — FGV 2022

Tamanho da amostra para estimação da média (TCL)

Gabarito: letra E. Pelo Teorema Central do Limite, a média amostral $\bar{X}$ tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão $\sigma/\sqrt{n}$. Para garantir que $|\bar{X} - \mu| \leq 1$ com 95% de probabilidade, usamos $z_{0,975} = 1,96$ e a fórmula $n = \left(\frac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2$. Com $\sigma = \sqrt{400} = 20$ e $E = 1$, obtemos $n = (1,96 \times 20)^2 = 1536,64$, arredondando para cima: $n = 1537$.

O problema pede o tamanho mínimo de amostra para que o erro máximo de estimação da média seja de 1 unidade, com 95% de confiança, sabendo que a variância populacional é 400. O Teorema Central do Limite garante que, para amostras grandes, a distribuição da média amostral se aproxima de uma normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma/\sqrt{n}$. Assim, o erro máximo $E$ (também chamado de margem de erro) é dado por:

onde $z_{\alpha/2}$ é o quantil da normal padrão correspondente ao nível de confiança desejado. Para 95% de confiança, $z_{\alpha/2} = 1,96$ (fornecido no enunciado: $P[Z < 1,96] = 0,975$).

Isolando $n$:

Substituindo os valores:

• $\sigma = \sqrt{400} = 20$

• $E = 1$

• $z = 1,96$

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e precisamos garantir que o erro não ultrapasse 1 unidade, arredondamos para cima: $n = 1537$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1.002 é muito menor que o necessário. Se o aluno usasse $z = 1,64$ (nível de confiança de 90%) ou errasse o desvio padrão (usando 400 em vez de 20), chegaria a um número próximo. Mas com 95% de confiança e $\sigma = 20$, o valor correto é 1537.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1.045 também é insuficiente. Esse número poderia surgir de um erro de cálculo, como usar $z = 1,64$ e $\sigma = 20$: $n = (1,64 \times 20)^2 = 1075,84$, que ainda não bate. Ou de um arredondamento incorreto para baixo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

1.278 é outro distrator. Se o aluno usasse $z = 1,96$ mas com $\sigma = 18$ (erro de raiz quadrada), teria $n = (1,96 \times 18)^2 = 1244,65$, próximo. Mas o desvio padrão correto é 20.

Alternativa D — ❌ Incorreta

1.423 é um valor intermediário. Poderia resultar de usar $z = 1,96$ e $\sigma = 19,2$ (erro de cálculo), mas o correto é 20. Nenhum desses valores atende à condição de erro máximo de 1 unidade com 95% de confiança.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo correto é:

Arredondando para cima, obtemos $n = 1537$. Esse é o menor tamanho de amostra que garante, com 95% de probabilidade, que a média amostral não se afaste da média populacional por mais de 1 unidade.

Gabarito: letra E