Questão de Estatística — Distribuição exponencial — FGV 2022

Distribuição exponencial: média e parâmetro

Gabarito: letra D. Para uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$, a média é dada por $E(X) = \frac{1}{\lambda}$. Como o enunciado fornece $\lambda = 0{,}25$, temos $E(X) = \frac{1}{0{,}25} = 4$. A alternativa correta é a letra D.

A distribuição exponencial é uma distribuição contínua que modela o tempo até a ocorrência de um evento, como o tempo de vida de um componente ou o intervalo entre chegadas em um processo de Poisson. Sua função densidade de probabilidade é $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$, com $\lambda > 0$.

Uma propriedade fundamental dessa distribuição é que tanto a média quanto o desvio padrão são iguais ao inverso do parâmetro $\lambda$: $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ e $DP(X) = \frac{1}{\lambda}$. A variância, por sua vez, é $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$.

A pegadinha mais comum nesse tipo de questão é confundir a média com o próprio parâmetro $\lambda$ ou com a variância. Aqui, $\lambda = 0{,}25$ é a taxa de ocorrência; a média é o seu inverso, ou seja, $4$. Note que $0{,}25 = \frac{1}{4}$, então $\frac{1}{0{,}25} = 4$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria a média se $\lambda = 1$, mas o parâmetro dado é $0{,}25$. Não corresponde a nenhuma relação direta com os dados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2 seria a média se $\lambda = 0{,}5$, mas o parâmetro é $0{,}25$. Também não corresponde à variância, que seria $\frac{1}{0{,}25^2} = 16$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 3 não tem relação com o parâmetro fornecido. A média correta é $4$, e não há nenhuma operação simples que resulte em 3 a partir de $\lambda = 0{,}25$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média da distribuição exponencial é o inverso do parâmetro: $E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0{,}25} = 4$. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 5 seria a média se $\lambda = 0{,}2$, mas o parâmetro é $0{,}25$. Não corresponde a nenhuma medida da distribuição dada.

Gabarito: letra D