Questão de Economia — Demanda e Oferta — FGV 2022

Maximização de utilidade Cobb-Douglas

Gabarito: letra C (70). Para uma função utilidade Cobb-Douglas $u(x,y)=x^a y^b$ com $a+b=1$, as demandas ótimas são obtidas pela regra de que o consumidor gasta uma fração fixa da renda em cada bem: $\frac{a}{a+b}=a$ da renda em $x$ e $\frac{b}{a+b}=b$ em $y$. Como $b=60\%$ (0,6) e $a+b=1$, temos $a=0,4$. Dados: $p_1 = 0,5p_2$ e $M = 100p_1$. Calculamos:

• Gasto em $x$: $0,4 \times M = 0,4 \times 100p_1 = 40p_1$. Logo, $x = \frac{40p_1}{p_1} = 40$.

• Gasto em $y$: $0,6 \times M = 0,6 \times 100p_1 = 60p_1$. Mas $p_1 = 0,5p_2$, então $M = 100p_1 = 50p_2$. Assim, gasto em $y$: $0,6 \times 50p_2 = 30p_2$. Então $y = \frac{30p_2}{p_2} = 30$.

• Soma: $x+y = 40+30 = 70$.

Portanto, a alternativa correta é a C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

50 não corresponde à soma obtida. O valor 50 seria obtido se a fração da renda destinada a cada bem fosse igual (50% cada) ou se houvesse confusão na conversão de preços.

Alternativa B — ❌ Incorreta

60 não é a soma correta. Esse valor poderia surgir se o aluno calculasse apenas a quantidade de $y$ (30) e esquecesse $x$, ou invertesse as frações.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, $x=40$ e $y=30$, totalizando 70.

Alternativa D — ❌ Incorreta

80 não corresponde ao resultado. Poderia vir de $M/p_1 = 100$ (se gastasse toda a renda em $x$) ou de $M/p_2 = 50$ (toda em $y$), mas nenhum desses extremos é a solução da Cobb-Douglas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

90 também não é a soma correta. Provavelmente resulta de erro na aplicação das proporções ou no cálculo dos gastos.