Questão de Estatística — Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação) — FGV 2022

Distribuição Normal Padrão (Z)

Gabarito: letra A. A padronização de uma variável normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ é feita subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, que resulta em uma normal padrão $N(0,1)$. As demais alternativas alteram o denominador ou elevam ao quadrado, o que não produz uma normal padrão.

A distribuição normal é a mais importante das distribuições contínuas. Ela é caracterizada por dois parâmetros: a média $\mu$ (que define a posição central da curva) e a variância $\sigma^2$ (que define a dispersão, ou seja, o achatamento da curva). A normal padrão é um caso especial: tem média 0 e variância 1, e é denotada por $Z \sim N(0,1)$.

Para transformar qualquer normal em uma normal padrão, aplicamos a padronização (ou escore z): subtraímos a média (centralizando em zero) e dividimos pelo desvio padrão $\sigma$ (ajustando a escala para que a variância vire 1). Essa transformação é linear e preserva a normalidade.

A pegadinha da banca está em confundir o denominador: usar a variância $\sigma^2$ em vez do desvio padrão $\sigma$, ou elevar o numerador ao quadrado (o que geraria uma distribuição qui-quadrado, não normal).

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ é exatamente a definição de padronização. Como $X$ é normal, qualquer transformação linear $aX + b$ também é normal. Aqui, $a = 1/\sigma$ e $b = -\mu/\sigma$. Calculando:

• $E(Z) = \frac{E(X) - \mu}{\sigma} = \frac{\mu - \mu}{\sigma} = 0$

• $Var(Z) = \frac{Var(X)}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$

Portanto, $Z \sim N(0,1)$, a normal padrão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$Z = \frac{(X - \mu)^2}{\sigma}$: o numerador está ao quadrado, o que torna a variável sempre não negativa e com distribuição assimétrica (relacionada à qui-quadrado com 1 grau de liberdade, se dividida pela variância). Além disso, o denominador é o desvio padrão, não a variância. Não é normal padrão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$Z = \frac{(X - \mu)^2}{\sigma^2}$: esta expressão corresponde ao quadrado de uma normal padrão, que segue distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade ($\chi^2_1$), não normal padrão. A banca troca a transformação linear pela quadrática.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma^2}$: aqui o denominador é a variância $\sigma^2$, não o desvio padrão. A variância de $Z$ seria $Var(Z) = \frac{\sigma^2}{(\sigma^2)^2} = \frac{1}{\sigma^2}$, que não é 1 (a menos que $\sigma = 1$). Portanto, não é normal padrão.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$Z = \frac{X - \mu}{2\sigma}$: o denominador é $2\sigma$, o que faz com que a variância de $Z$ seja $Var(Z) = \frac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \frac{1}{4}$, e não 1. Logo, $Z$ teria desvio padrão $1/2$, não sendo normal padrão.

Gabarito: letra A