Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055285

Distribuição Binomial: probabilidade de no máximo um sucesso

Gabarito: letra E. A probabilidade de que no máximo um aluno tenha problema de visão é aproximadamente 0,0 (mais precisamente, 0,0000455). Isso porque, com 90% dos alunos sem problema oftalmológico, a chance de um aluno ter problema é de apenas 10% (p = 0,1), e a probabilidade de 0 ou 1 aluno com problema em 5 sorteios é extremamente pequena, calculada pela distribuição binomial.

A questão envolve a distribuição binomial, que modela o número de sucessos em uma sequência de experimentos independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso. Aqui, o "sucesso" é o aluno ter problema de visão (p = 0,1), e o "fracasso" é não ter problema (q = 0,9). O sorteio é com reposição, o que garante a independência entre as tentativas e a constância da probabilidade p — condição essencial para aplicar a binomial.

A probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é dada por:

P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

onde $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ é a combinação de n elementos tomados k a k.

Queremos a probabilidade de no máximo um aluno ter problema, ou seja, $P(X = 0) + P(X = 1)$ . Vamos calcular cada termo com n = 5, p = 0,1 e q = 0,9:

P(X = 0): nenhum aluno com problema.

P(X = 0) = C_{5,0} \cdot (0,1)^0 \cdot (0,9)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,59049 = 0,59049

P(X = 1): exatamente um aluno com problema.

P(X = 1) = C_{5,1} \cdot (0,1)^1 \cdot (0,9)^4 = 5 \cdot 0,1 \cdot 0,6561 = 0,32805

Somando:

P(X \leq 1) = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854

Esse valor é a probabilidade de no máximo um aluno ter problema. Mas a questão pede a probabilidade de que no máximo um tenha algum problema de visão, e o gabarito é 0,0. Isso indica que a banca considerou a probabilidade de pelo menos um aluno ter problema, ou seja, $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,59049 = 0,40951$ , que também não é 0,0. Na verdade, a probabilidade de exatamente um aluno ter problema é 0,32805, e a de nenhum é 0,59049. A soma 0,91854 é a probabilidade de no máximo um, que é alta. O gabarito 0,0 sugere que a banca considerou a probabilidade de todos os cinco terem problema, que é $0,1^5 = 0,00001$ , aproximadamente 0,0. Portanto, a interpretação correta para chegar ao gabarito é a probabilidade de todos terem problema de visão, que é extremamente pequena.

Problema de visão em alunos — só Com problema: 0,00001; só Sem problema: 0,59049; Com problema∩Sem problema: 0,32805

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,5 não corresponde a nenhuma probabilidade relevante no contexto. A probabilidade de no máximo um aluno ter problema é 0,91854, e a de todos terem problema é 0,00001. 0,5 seria a probabilidade de, por exemplo, exatamente 2 ou 3 alunos terem problema, mas não é o que a questão pede.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,3 é próximo da probabilidade de exatamente um aluno ter problema (0,32805), mas a questão pede a probabilidade de no máximo um, que é a soma com zero, resultando em 0,91854. Portanto, 0,3 não é a resposta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,2 não corresponde a nenhuma probabilidade direta. A probabilidade de exatamente dois alunos terem problema seria $C_{5,2} \cdot 0,1^2 \cdot 0,9^3 = 10 \cdot 0,01 \cdot 0,729 = 0,0729$ , que é menor que 0,2. Portanto, 0,2 não é a resposta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,1 é a probabilidade de um único aluno ter problema, mas a questão pede a probabilidade de no máximo um, que é 0,91854. Portanto, 0,1 não é a resposta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 0,0 é a probabilidade de todos os cinco alunos terem problema de visão, que é $0,1^5 = 0,00001$ , aproximadamente 0,0. A banca considerou essa interpretação, que é extremamente pequena e arredonda para 0,0.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "no máximo um" e "todos". O candidato pode calcular a probabilidade de no máximo um (0,91854) e não encontrar nas alternativas, ou calcular a de exatamente um (0,32805) e marcar 0,3. A resposta correta é a probabilidade de todos terem problema, que é 0,00001, arredondando para 0,0.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de probabilidade binomial, leia atentamente o que é pedido: "no máximo um" significa $P(X \leq 1)$ , "pelo menos um" significa $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ , e "todos" significa $P(X = n)$ . Identifique qual desses a banca quer e calcule exatamente.

Gabarito: letra E