Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055286

Média de uma variável aleatória discreta

Gabarito: letra C. A média (esperança) de uma variável aleatória discreta é calculada pela soma dos produtos de cada valor pela sua respectiva probabilidade: $E[X] = \sum x_i \cdot p(x_i)$ . Aplicando aos dados: $(-3 \times 0,1) + (-1 \times 0,2) + (0 \times 0,3) + (1 \times 0,2) + (3 \times 0,2) = -0,3 - 0,2 + 0 + 0,2 + 0,6 = 0,3$ .

A média, ou valor esperado, é uma medida de tendência central que representa o valor médio ponderado que a variável assume, considerando as probabilidades de cada ocorrência. Para uma variável aleatória discreta, a definição formal é:

E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)

onde a soma percorre todos os valores possíveis de $X$ . Essa é a definição canônica, presente em qualquer curso de probabilidade (Ross, "Probabilidade: Um Curso Moderno com Aplicações", capítulo 4).

A banca explora aqui um erro comum: o candidato pode calcular a média aritmética simples dos valores (ignorando as probabilidades), o que daria $(-3 -1 +0 +1 +3)/5 = 0$ , ou pode se confundir com a moda (o valor com maior probabilidade, que é 0). Nenhuma dessas alternativas aparece, mas a pegadinha conceitual é exatamente essa: a média não é a média dos valores, e sim a média ponderada pelas probabilidades.

Vamos ao cálculo passo a passo:

Multiplicar cada valor pela sua probabilidade:
- $-3 \times 0,1 = -0,3$
- $-1 \times 0,2 = -0,2$
- $0 \times 0,3 = 0$
- $1 \times 0,2 = 0,2$
- $3 \times 0,2 = 0,6$

Somar os resultados:
$-0,3 - 0,2 + 0 + 0,2 + 0,6 = 0,3$

Portanto, a média é $0,3$ .

Distribuição de probabilidade — só Valores negativos: 0,3; só Valores positivos: 0,4; Valores negativos∩Valores positivos: 0,0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,1 não corresponde a nenhum cálculo direto. Se o candidato somasse apenas as probabilidades dos valores positivos (0,2 + 0,2 = 0,4) e subtraísse as dos negativos (0,1 + 0,2 = 0,3), obteria 0,1 — mas isso é um erro de interpretação, pois a média exige multiplicar cada valor pela probabilidade, não apenas somar probabilidades.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,2 é a probabilidade associada aos valores -1, 1 e 3, mas não é o resultado da média. Pode ser uma confusão com a probabilidade de um dos valores, ou um erro de cálculo parcial.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o cálculo correto é $E[X] = 0,3$ . A soma ponderada dos valores pelas probabilidades resulta exatamente nesse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,4 seria o resultado se o candidato somasse apenas as probabilidades dos valores positivos (0,2 + 0,2 = 0,4), ignorando os valores negativos e o zero. Mas a média deve considerar todos os valores, inclusive os negativos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,5 não tem relação com os dados. Poderia ser uma confusão com a soma das probabilidades dos valores extremos (0,1 + 0,2 + 0,2 = 0,5), mas isso não é a média.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não coloca a média aritmética simples (0) como alternativa, mas tenta induzir o candidato a somar probabilidades em vez de multiplicar valores por probabilidades. Lembre-se: a média de uma variável aleatória discreta é sempre a soma de $x_i \cdot p(x_i)$ , nunca a média dos valores ou a soma das probabilidades.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de média de variável aleatória discreta, monte uma tabela com colunas: valor ( $x_i$ ), probabilidade ( $p_i$ ) e produto ( $x_i \cdot p_i$ ). Some a última coluna. Isso evita erros de cálculo e é rápido.

Gabarito: letra C