Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2022

Probabilidade condicional e regra da multiplicação

Gabarito: letra D. A probabilidade de as três bolas sorteadas serem pretas é dada pelo produto das probabilidades condicionais de cada sorteio, já que a composição da urna muda a cada etapa: $\frac{3}{8} \times \frac{5}{10} \times \frac{7}{12} = \frac{105}{960} \approx 0,1094$, aproximadamente 0,11. A fonte é a regra da multiplicação para eventos dependentes, que decorre da definição de probabilidade condicional.

O problema descreve um experimento em que, a cada sorteio, a bola sorteada é devolvida à urna juntamente com duas outras bolas da mesma cor. Isso significa que o número total de bolas aumenta em 2 a cada etapa, e a proporção de bolas de cada cor se altera conforme o resultado anterior. Para calcular a probabilidade de uma sequência específica (preta, preta, preta), usamos a regra da multiplicação:

Vamos passo a passo:

1. Primeiro sorteio: inicialmente há 3 bolas pretas em 8 bolas totais. Logo, $P(P_1) = \frac{3}{8}$.

1. Segundo sorteio (dado que a primeira foi preta): a bola preta sorteada é devolvida e acrescentam-se 2 bolas pretas. A urna passa a ter $3 + 2 = 5$ bolas pretas e $5$ bolas brancas, totalizando $10$ bolas. Assim, $P(P_2 | P_1) = \frac{5}{10}$.

1. Terceiro sorteio (dado que as duas primeiras foram pretas): novamente, a bola preta é devolvida e acrescentam-se 2 bolas pretas. Agora há $5 + 2 = 7$ bolas pretas e $5$ brancas, totalizando $12$ bolas. Portanto, $P(P_3 | P_1 \cap P_2) = \frac{7}{12}$.

Multiplicando:

A alternativa D é a que mais se aproxima desse valor.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,05 corresponderia a um produto bem menor, como se a probabilidade de cada sorteio fosse aproximadamente $\sqrt[3]{0,05} \approx 0,37$, o que não reflete as frações reais (que começam em $3/8 = 0,375$ e aumentam). Não há combinação de frações do problema que resulte em 0,05.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,07 é um valor intermediário, mas ainda abaixo do correto. Se o aluno errasse ao não considerar o aumento de bolas pretas (usando sempre $3/8$), obteria $0,375^3 \approx 0,0527$, próximo de 0,05, não de 0,07. Portanto, 0,07 não corresponde a nenhum cálculo típico do enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,09 é um valor próximo, mas ainda inferior ao correto. Pode surgir de um erro de arredondamento ou de uma conta que não considera corretamente o acréscimo de bolas no terceiro sorteio (por exemplo, usar $6/11$ em vez de $7/12$). O cálculo exato é 0,1094, que arredonda para 0,11.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o produto das probabilidades condicionais é $\frac{105}{960} = 0,109375$, que arredondado para duas casas decimais é 0,11. A alternativa D é a correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,13 é um valor acima do correto. Poderia resultar de um erro como usar $\frac{3}{8} \times \frac{6}{10} \times \frac{8}{12} = 0,15$ ou de um arredondamento para cima indevido. O valor exato não chega a 0,13.

Depois, multiplique as probabilidades da coluna da direita. Esse método evita erros de contagem e serve para qualquer variação do problema.

Gabarito: letra D.