Questão de Estatística — Distribuição Normal — FGV 2022

Distribuição Binomial: média e variância

Gabarito: letra C. Na distribuição binomial, a média é $E(X) = n \cdot p$ e a variância é $V(X) = n \cdot p \cdot q$, onde $q = 1 - p$. Com média 20 e variância 4, temos $n \cdot p = 20$ e $n \cdot p \cdot q = 4$. Substituindo a primeira na segunda: $20 \cdot q = 4$, logo $q = 0{,}2$ e $p = 0{,}8$. Voltando à média: $n \cdot 0{,}8 = 20$, portanto $n = 25$.

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ ensaios independentes de Bernoulli, cada um com probabilidade de sucesso $p$. Os dois parâmetros que a definem são $n$ (número de ensaios) e $p$ (probabilidade de sucesso). A média e a variância são funções diretas desses parâmetros, e a relação entre elas é o que permite resolver a questão sem conhecer $p$ de antemão.

A chave está em perceber que a variância é a média multiplicada por $q$: $V(X) = n \cdot p \cdot q = E(X) \cdot q$. Isso permite isolar $q$ e, em seguida, $p$ e $n$. A banca explora exatamente a confusão entre os parâmetros: muitos candidatos tentam resolver por tentativa ou confundem a variância com o desvio-padrão (que seria 2, não 4).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $n = 20$, a média $n \cdot p = 20$ implicaria $p = 1$, o que tornaria a variância $n \cdot p \cdot q = 0$, não 4. Portanto, impossível.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Se $n = 22$, teríamos $p = 20/22 \approx 0{,}909$ e $q \approx 0{,}091$, resultando em variância $22 \times 0{,}909 \times 0{,}091 \approx 1{,}82$, bem distante de 4.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com $n = 25$, $p = 20/25 = 0{,}8$ e $q = 0{,}2$, a variância é $25 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 4$, exatamente o valor do enunciado. Confere com o cálculo direto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Se $n = 50$, $p = 20/50 = 0{,}4$ e $q = 0{,}6$, a variância seria $50 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 12$, não 4.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se $n = 100$, $p = 20/100 = 0{,}2$ e $q = 0{,}8$, a variância seria $100 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 16$, não 4.

Gabarito: letra C