Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055335

Teste de hipóteses para a média com variância desconhecida

Gabarito: letra A. Como a variância populacional é desconhecida e o desvio padrão fornecido é o amostral, o teste adequado é o teste T de Student, e a estatística calculada é t = 2. A fórmula aplicada é $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ , substituindo os valores do enunciado.

O problema pede para testar se o gasto médio anual é estatisticamente diferente de R$ 750.000,00. Como não conhecemos a variância da população (só temos o desvio padrão amostral $s = 500.000$ ), não podemos usar o teste Z, que exige o desvio padrão populacional conhecido. O teste T é o apropriado para inferências sobre a média quando a variância é desconhecida, especialmente com amostras pequenas ( $n = 16$ ).

A estatística do teste T é dada por:

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}

Substituindo os valores:

$\bar{x} = 1.000.000$
$\mu_0 = 750.000$
$s = 500.000$
$n = 16$

t = \frac{1.000.000 - 750.000}{500.000/\sqrt{16}} = \frac{250.000}{500.000/4} = \frac{250.000}{125.000} = 2

Portanto, a estatística de teste é 2. A alternativa A está correta.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A afirma que o teste é T e a estatística é 2. Isso está correto: como a variância populacional é desconhecida, usa-se o teste T; e o cálculo acima resulta em $t = 2$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B afirma que o teste é Z e a estatística é 1/2. O erro está em usar o teste Z, que só é apropriado quando a variância populacional é conhecida. Além disso, o valor 1/2 não corresponde ao cálculo correto (que é 2).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que o teste é T e a estatística é 1/2. O teste está correto, mas o valor da estatística está errado: o cálculo correto resulta em 2, não 1/2. O erro provavelmente vem de inverter a fração ou esquecer de dividir o desvio padrão pela raiz de n.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D afirma que o teste é F e a estatística é 1/2. O teste F é usado para comparar variâncias ou em ANOVA, não para testar uma média. Além disso, o valor 1/2 está incorreto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E afirma que o teste é Z e a estatística é 2. O valor 2 está correto, mas o teste Z não é apropriado aqui, pois a variância populacional é desconhecida. O teste correto é o T.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre teste Z e teste T. Muitos candidatos usam o teste Z por terem o desvio padrão, mas esquecem que ele é o amostral, não o populacional. Quando a variância populacional é desconhecida, o teste é T — mesmo que a amostra seja grande, a regra vale. Fique atento: se o enunciado diz "desvio padrão amostral", o teste é T.

PEGA ESSA DICA!

Para decidir entre Z e T, pergunte: "a variância populacional é conhecida?" Se sim, use Z; se não, use T. E lembre-se: a estatística T é calculada com $s/\sqrt{n}$ , não com $s$ sozinho. Treine com questões que misturam esses dois testes para fixar.

Gabarito: letra A