Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055336

Intervalo de confiança para proporção

Gabarito: letra B. O intervalo de confiança de 95% para a proporção de processos favoráveis no terceiro ano é construído com a proporção amostral combinada dos dois anos, $\hat{p} = 0{,}8$ , e o erro padrão $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ , com $n = 2000$ , resultando em $0{,}8 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{5}/250$ . A alternativa B é a única que combina corretamente o valor crítico $z = 1{,}96$ (para 95% de confiança) com o erro padrão calculado.

A questão envolve a estimação de uma proporção populacional $p$ (probabilidade de um processo ser favorável) a partir de dados amostrais. Como cada processo é independente e tem a mesma probabilidade de ser favorável, o número de processos favoráveis em uma amostra de tamanho $n$ segue uma distribuição Binomial( $n, p$ ). Para amostras grandes, a distribuição amostral da proporção $\hat{p}$ é aproximadamente normal, com média $p$ e desvio padrão $\sqrt{p(1-p)/n}$ . Como $p$ é desconhecido, usamos a estimativa $\hat{p}$ no erro padrão.

No primeiro ano, tivemos 850 favoráveis em 1000 processos; no segundo, 750 em 1000. Como a probabilidade é a mesma em todos os processos (e os anos são apenas amostras dessa mesma população), a estimativa pontual mais eficiente é a proporção combinada: $\hat{p} = (850 + 750)/(1000 + 1000) = 1600/2000 = 0{,}8$ . Para o terceiro ano, teremos $n = 2000$ processos, e o intervalo de confiança de 95% para a proporção é dado por:

\hat{p} \pm z_{0{,}025} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

O valor crítico para 95% de confiança é $z = 1{,}96$ (pois $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}95$ ). Substituindo:

0{,}8 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}8 \cdot 0{,}2}{2000}} = 0{,}8 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}16}{2000}} = 0{,}8 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{0{,}00008}

Agora, $\sqrt{0{,}00008} = \sqrt{8 \times 10^{-5}} = \sqrt{8} \times 10^{-2.5} = 2\sqrt{2} \times 10^{-2.5}$ . Mas a alternativa apresenta $\sqrt{5}/250$ . Vamos verificar: $\sqrt{5}/250 \approx 2{,}236/250 = 0{,}008944$ . E $\sqrt{0{,}00008} = 0{,}008944$ . De fato, $\sqrt{0{,}00008} = \sqrt{8 \times 10^{-5}} = \sqrt{8} \times 10^{-2.5} = 2\sqrt{2} \times 10^{-2.5}$ . Mas $\sqrt{5}/250 = \sqrt{5}/250$ . Elevando ao quadrado: $(\sqrt{5}/250)^2 = 5/62500 = 0{,}00008$ . Portanto, $\sqrt{0{,}00008} = \sqrt{5}/250$ . Logo, o intervalo é:

0{,}8 \pm 1{,}96 \cdot \frac{\sqrt{5}}{250}

Que corresponde exatamente à alternativa B.

Intervalo de confiança para proporção — só Favoráveis: 0,8; só Desfavoráveis: 0,2; Favoráveis∩Desfavoráveis: 1,96·√5/250

Alternativa A — ❌ Incorreta

Usa o valor crítico $1{,}64$ (que corresponde a 90% de confiança) e o erro $2/5$ (que seria $\sqrt{p(1-p)}$ sem dividir por $n$ ). Além disso, o centro é $0{,}2$ , que é a proporção de desfavoráveis, não de favoráveis.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o intervalo correto é $0{,}8 \pm 1{,}96 \cdot \sqrt{5}/250$ , com $\hat{p}=0{,}8$ , $z=1{,}96$ e erro padrão $\sqrt{5}/250$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O centro está errado: usa $0{,}2$ (proporção de desfavoráveis) em vez de $0{,}8$ (proporção de favoráveis). O valor crítico e o erro padrão estão corretos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Usa o valor crítico $1{,}64$ (90% de confiança) em vez de $1{,}96$ (95% de confiança). O centro e o erro padrão estão corretos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O erro padrão está errado: usa $2/5$ (que é $\sqrt{p(1-p)}$ sem dividir por $n$ ) em vez de $\sqrt{5}/250$ . O centro e o valor crítico estão corretos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca mistura três elementos: o centro do intervalo (favoráveis $0{,}8$ vs. desfavoráveis $0{,}2$ ), o valor crítico ( $1{,}96$ para 95% vs. $1{,}64$ para 90%) e o erro padrão (que deve incluir a divisão por $n$ ). A alternativa C, por exemplo, acerta o valor crítico e o erro, mas troca o centro — e a E acerta o centro e o valor crítico, mas erra o erro padrão. Fique atento a cada componente.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança de proporção, monte a fórmula passo a passo: (1) calcule $\hat{p}$ combinando as amostras; (2) identifique o $z$ correto para o nível de confiança (95% → 1,96; 90% → 1,64); (3) calcule o erro padrão $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ e simplifique a raiz. Compare cada alternativa componente por componente.

Gabarito: letra B