Estatística · FGV · 2022 | Questão sqc-fg055337

Covariância Amostral entre uma Sequência Simétrica e seus Quadrados

Gabarito: letra D. A covariância amostral entre a sequência $x_i$ (que vai de -1000 a 1000) e a sequência $y_i = x_i^2$ é 0, pois a relação entre as variáveis é perfeitamente simétrica: para cada valor positivo de $x$ existe um negativo correspondente, e ambos produzem o mesmo $y$ . Isso faz com que os desvios $(x_i - \bar{x})$ e $(y_i - \bar{y})$ se cancelem mutuamente no somatório da covariância.

A covariância amostral mede a tendência de duas variáveis variarem juntas. Sua fórmula é:

\text{Cov}(x, y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1}

Nesta questão, a sequência $x$ é simétrica em torno de zero: $x_1 = -1000$ , $x_2 = -999$ , ..., $x_{1001} = 0$ , ..., $x_{2001} = 1000$ . Portanto, a média de $x$ é $\bar{x} = 0$ . A sequência $y$ é composta pelos quadrados: $y_i = x_i^2$ , que vão de $1000^2$ até $0$ e depois sobem novamente até $1000^2$ . A média de $y$ é $\bar{y} = \frac{2 \sum_{k=1}^{1000} k^2}{2001}$ .

O ponto crucial é que, para cada par de valores $x = a$ e $x = -a$ (com $a \neq 0$ ), temos:

$(x - \bar{x}) = a$ e $(y - \bar{y}) = (a^2 - \bar{y})$ para $x = a$ ;
$(x - \bar{x}) = -a$ e $(y - \bar{y}) = (a^2 - \bar{y})$ para $x = -a$ .

Ao somar as contribuições desses dois pontos, obtemos:

a \cdot (a^2 - \bar{y}) + (-a) \cdot (a^2 - \bar{y}) = 0

O valor $x = 0$ contribui com $(0 - 0)(0 - \bar{y}) = 0$ . Portanto, o somatório total é zero, e a covariância amostral é $0$ .

A banca explora a confusão entre covariância e correlação. A correlação mede a força da relação linear, e aqui a relação é perfeitamente quadrática (não linear), mas a covariância, que é uma medida de associação linear, é zero justamente por causa da simetria.

Covariância entre X e X² — só Valores positivos de X: 0; só Valores negativos de X: 0; Valores positivos de X∩Valores negativos de X: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 não corresponde a nenhum cálculo da covariância. A covariância é zero, não 1. Este distrator pode confundir quem pensa que a relação perfeita (mesmo que não linear) gera uma covariância alta, mas a covariância mede apenas a associação linear, que aqui é nula.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 2001 é o tamanho da amostra ( $n = 2001$ ), não a covariância. A banca tenta confundir o aluno que confunde o número de elementos com a medida de associação. A covariância é uma medida de dispersão conjunta, não uma contagem.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1001 é o índice do elemento central ( $x_{1001} = 0$ ), não a covariância. Novamente, um distrator numérico que remete a uma característica da sequência, mas não à medida pedida.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A covariância amostral é zero. Como demonstrado, a simetria da sequência $x$ em torno de zero faz com que os produtos dos desvios se cancelem. Para cada par $x = a$ e $x = -a$ , as contribuições se anulam, e o ponto central $x = 0$ contribui com zero. Portanto, $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 0$ , e a covariância é $0$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor -1 não corresponde a nenhum cálculo. A covariância é zero, não negativa. Este distrator pode confundir quem pensa que a relação é inversa, mas não há relação linear negativa aqui; a relação é quadrática e simétrica.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o aluno acreditar que, como a relação entre $x$ e $y$ é perfeita (cada $x$ gera um $y$ único), a covariância deve ser alta. Mas a covariância mede apenas a associação linear. Como a relação é quadrática e simétrica, a associação linear é nula. Lembre-se: covariância zero não significa independência, apenas ausência de relação linear.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de covariância com sequências simétricas, verifique se a média de uma das variáveis é zero e se os valores são simétricos. Se sim, os produtos dos desvios tendem a se cancelar. Sempre calcule a média e observe o padrão antes de aplicar a fórmula.

Gabarito: letra D