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Questão de Matemática Financeira — Juros compostos — FGV 2022

Matemática FinanceiraJuros compostos
Código
fg055368
Banca
FGV
Órgão
TCU
Ano
2022
Nível
Superior
Cargo
Auditor Federal de Controle Externo
Um empréstimo de uma unidade monetária é concedido nas seguintes condições:i. juros compostos de 5% ao mês;ii. taxa de abertura de crédito de 5% sobre o valor financiado, sendo o pagamento no ato;iii. amortizações mensais constantes;iv. prazo total de 2 meses.A taxa positiva que representa o custo efetivo total mensal desse empréstimo é, aproximadamente, de:Utilize a aproximação: (2,2975)⁰,⁵=1,52
  1. A9%
  2. B8%
  3. C7%
  4. D6%
  5. E5%
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 9%

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Custo Efetivo Total Mensal (SAC com taxa de abertura)

Gabarito: letra A (9%). O custo efetivo mensal é a taxa que iguala o valor presente líquido dos fluxos de caixa do empréstimo a zero. Considerando o valor recebido líquido (R$ 0,95) e as prestações do SAC com juros de 5% a.m., a equação resulta em uma taxa de aproximadamente 9% a.m., conforme a aproximação fornecida.

Resolução passo a passo

  1. Valor financiado: 1 unidade monetária.

  2. Taxa de abertura de crédito: 5% sobre o valor financiado, paga no ato → R$ 0,05.

  3. Valor líquido recebido: 1−0,05=0,951 - 0,05 = 0,95.

  4. SAC com prazo de 2 meses: Amortização constante A=1/2=0,5A = 1/2 = 0,5.

  5. Juros contratuais: 5% a.m. sobre o saldo devedor.

    • Mês 1: saldo inicial 1 → juros 0,050,05 → prestação 0,5+0,05=0,550,5 + 0,05 = 0,55.

    • Mês 2: saldo inicial 0,5 → juros 0,0250,025 → prestação 0,5+0,025=0,5250,5 + 0,025 = 0,525.

  6. Fluxo de caixa:

    • t=0t=0: +0,95 (recebe)

    • t=1t=1: -0,55

    • t=2t=2: -0,525

  7. Equação do valor presente líquido (VPL = 0):

    0,95−0,551+i−0,525(1+i)2=00,95 - \frac{0,55}{1+i} - \frac{0,525}{(1+i)^2} = 0

    Multiplicando por (1+i)2(1+i)^2:

    0,95(1+i)2−0,55(1+i)−0,525=00,95(1+i)^2 - 0,55(1+i) - 0,525 = 0

    Seja x=1+ix = 1+i:

    0,95x2−0,55x−0,525=00,95x^2 - 0,55x - 0,525 = 0

    Discriminante: Δ=(−0,55)2−4⋅0,95⋅(−0,525)=0,3025+1,995=2,2975\Delta = (-0,55)^2 - 4\cdot0,95\cdot(-0,525) = 0,3025 + 1,995 = 2,2975

    Raiz: 2,2975=1,52\sqrt{2,2975} = 1,52 (dado)

    x=0,55±1,522⋅0,95=0,55±1,521,9x = \frac{0,55 \pm 1,52}{2\cdot0,95} = \frac{0,55 \pm 1,52}{1,9}

    Tomando a raiz positiva: x=0,55+1,521,9=2,071,9=1,08947x = \frac{0,55 + 1,52}{1,9} = \frac{2,07}{1,9} = 1,08947

    Portanto i=x−1=0,08947≈8,95%i = x - 1 = 0,08947 \approx 8,95\%, arredondando para 9%.

Taxa ContratualTaxa de Abertura5%5%9%LEVELsoulevel.com.br
Custo Efetivo Mensal — só Taxa Contratual: 5%; só Taxa de Abertura: 5%; Taxa Contratual∩Taxa de Abertura: 9%

Análise das alternativas

  • Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO**: A taxa de 9% é o resultado do cálculo, compatível com o valor obtido.

  • Alternativa B — ❌ Incorreta: 8% é inferior ao custo efetivo real; resultaria em VPL positivo.

  • Alternativa C — ❌ Incorreta: 7% ainda menor, não satisfaz a equação.

  • Alternativa D — ❌ Incorreta: 6% muito abaixo do necessário.

  • Alternativa E — ❌ Incorreta: 5% é a taxa contratual, mas a inclusão da taxa de abertura eleva o custo efetivo.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de custo efetivo, lembre-se de incluir todas as despesas pagas (taxas, seguros) no fluxo de caixa. A taxa contratual é apenas um dos componentes; a taxa efetiva é calculada pela TIR (ou VPL=0) considerando o valor líquido recebido.

Gabarito: letra A (9%)

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