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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2022

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fg055372
Banca
FGV
Órgão
TCU
Ano
2022
Nível
Superior
Cargo
Auditor Federal de Controle Externo
Um empréstimo será amortizado em um ano com pagamentos mensais à taxa de juros compostos de 48% ao ano capitalizados mensalmente. Descontadas as tarifas bancárias, que são efetivadas no momento da contratação do empréstimo, no valor de 5%, o tomador do empréstimo receberá líquidos R$ 10.450,00. Sabe-se que as parcelas mensais aumentam 2,7% ao mês e que o primeiro pagamento será realizado um mês após efetuada a operação.O valor aproximado da menor parcela, em reais, é de:Utilize a aproximação: (1,027)¹²=1,4 e (1,04)¹²=1,6
  1. A879;
  2. B1.144;
  3. C1.886;
  4. D1.976;
  5. E2.089.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 1.144;

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Matemática Financeira — Séries de Pagamentos em Progressão Geométrica

Gabarito: letra B. O valor da menor parcela é de R$ 1.144,00, obtido descontando-se a série de 12 pagamentos mensais crescentes a 2,7% a.m. à taxa de juros compostos de 4% a.m. (48% a.a. capitalizados mensalmente), considerando o valor líquido recebido de R$ 10.450,00 correspondente a 95% do valor bruto do empréstimo.

Primeiro, determina-se o valor bruto do empréstimo: como as tarifas de 5% são descontadas no ato, o valor líquido recebido é 95% do valor bruto. Logo, valor bruto = 10.450 / 0,95 = R$ 11.000,00.

A taxa de juros efetiva mensal é 48% / 12 = 4% a.m. (juros compostos). As parcelas mensais formam uma progressão geométrica crescente de razão 1,027, iniciando com o valor P (menor parcela) um mês após a contratação. O valor presente dessa série no momento zero é dado por:

VP=P1,04+P⋅1,027(1,04)2+⋯+P⋅(1,027)11(1,04)12VP = \frac{P}{1,04} + \frac{P \cdot 1,027}{(1,04)^2} + \dots + \frac{P \cdot (1,027)^{11}}{(1,04)^{12}}

Essa é uma série geométrica decrescente (pois 1,027/1,04 < 1). A soma dos 12 termos é:

VP=P1,04⋅1−(1,0271,04)121−1,0271,04VP = \frac{P}{1,04} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1,027}{1,04}\right)^{12}}{1 - \frac{1,027}{1,04}}

Utilizando as aproximações fornecidas: (1,027)12=1,4(1,027)^{12} = 1,4 e (1,04)12=1,6(1,04)^{12} = 1,6, temos:

(1,0271,04)12=1,41,6=0,875\left(\frac{1,027}{1,04}\right)^{12} = \frac{1,4}{1,6} = 0,875
1−1,0271,04=1,04−1,0271,04=0,0131,04≈0,01251 - \frac{1,027}{1,04} = \frac{1,04 - 1,027}{1,04} = \frac{0,013}{1,04} \approx 0,0125
1−0,875=0,1251 - 0,875 = 0,125

Assim:

VP=P1,04⋅0,1250,0125=P1,04⋅10=10P1,04VP = \frac{P}{1,04} \cdot \frac{0,125}{0,0125} = \frac{P}{1,04} \cdot 10 = \frac{10P}{1,04}

Igualando ao valor bruto do empréstimo:

11.000=10P1,04⇒P=11.000⋅1,0410=1.14411.000 = \frac{10P}{1,04} \Rightarrow P = 11.000 \cdot \frac{1,04}{10} = 1.144

Portanto, a menor parcela (primeira) é de aproximadamente R$ 1.144,00.

Alternativa A — ❌ Incorreta

R$ 879,00. Valor inferior ao correto; resultaria de um cálculo que desconsidera a capitalização mensal ou utiliza taxa incorreta.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, o valor é R$ 1.144,00.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 1.886,00. Valor superestimado; poderia advir de confundir a taxa de juros anual com mensal ou de não aplicar a progressão geométrica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R$ 1.976,00. Também maior que o correto, provavelmente por uso da taxa de 48% a.a. de forma equivocada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 2.089,00. O maior valor; pode resultar de se considerar o valor bruto como R$ 10.450,00 sem reverter o desconto das tarifas.

PEGA ESSA DICA!

Em questões com séries não uniformes, identifique o padrão de crescimento (PG) e aplique a fórmula do valor presente de uma série geométrica. Use as aproximações fornecidas para simplificar os cálculos.

Gabarito: letra B.

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