Questão de Raciocínio Lógico — Raciocínio Matemático — FGV 2022
Raciocínio Lógico›Raciocínio Matemático
Código
fg058620
Banca
FGV
Órgão
Senado Federal
Ano
2022
Nível
Superior
Uma empresa constrói ferrovias usando 3 tipos de peças de encaixe, de 110, 210 e 310 metros de comprimento. Ela pretende construir um trecho com exatamente 1,5 quilômetros de extensão, usando ao menos uma peça de cada um dos 3 tipos.O número total de peças que ela deve usar para montar o trecho da ferrovia é igual a
A8.
B9.
C10.
D11.
E12.
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GabaritoC — 10.
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Raciocínio Matemático: Combinação Linear de Peças
Gabarito: letra C. A única combinação de peças de 110 m, 210 m e 310 m que totaliza exatos 1.500 m (1,5 km) usando ao menos uma de cada tipo é 7 peças de 110 m, 2 de 210 m e 1 de 310 m, somando 10 peças. A equação 110x + 210y + 310z = 1500, com x,y,z ≥ 1, tem solução única x=7, y=2, z=1, o que resulta em x+y+z = 10.
A questão envolve resolver uma equação diofantina linear. Simplificando por 10: 11x + 21y + 31z = 150. Como as variáveis são inteiras positivas, testamos valores pequenos de z (pois 31 é o maior coeficiente). A condição modular y + 2z ≡ 4 (mod 11) guia a busca, e as restrições de magnitude (21y + 31z < 150) reduzem as possibilidades, levando à única solução.
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que seriam 8 peças. Nenhuma combinação de peças com ao menos uma de cada tipo totaliza 8 peças e 1.500 m. Por exemplo, com 8 peças, o comprimento máximo seria 8×310 = 2.480 m, mas é impossível ajustar exatamente 1.500 m respeitando x,y,z ≥ 1.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que seriam 9 peças. Não há solução inteira para a equação com x+y+z=9 e x,y,z ≥ 1 que satisfaça 110x+210y+310z=1500. Testando sistematicamente, as combinações possíveis para 9 peças (distribuindo x,y,z ≥ 1) não fecham a distância.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A combinação 7 peças de 110 m, 2 de 210 m e 1 de 310 m utiliza 7+2+1 = 10 peças. Verificação: 7×110 = 770, 2×210 = 420, 1×310 = 310; soma 770+420+310 = 1.500 m. Atende à condição de ao menos uma peça de cada tipo.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que seriam 11 peças. Para 11 peças, mesmo usando as menores (110 m), o comprimento mínimo seria 11×110 = 1.210 m, mas com ao menos uma de cada tipo o mínimo é 110+210+310 + 8×110 = 1.510 m, que ultrapassa 1.500 m. Portanto, impossível.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que seriam 12 peças. Com 12 peças, o comprimento mínimo (já considerando ao menos uma de cada) é 110+210+310 + 9×110 = 1.620 m, superior a 1.500 m. Logo, não é possível.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas de combinação linear com valores inteiros, reduza a equação por um fator comum e use congruências (módulo) para restringir as variáveis. Teste a variável de maior coeficiente primeiro, pois ela limita rapidamente as possibilidades.