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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
fg058970
Banca
FGV
Órgão
AGENERSA - RJ
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Assistente Técnico de Regulação
Sabe-se que uma grandeza X é inversamente proporcional ao quadrado da grandeza Y que, por sua vez, é inversamente proporcional à grandeza Z. Quando Y = 4, tem-se X = 2 e Z = 1/2 .Quando Z = 3, o valor de X é
  1. A6.
  2. B9.
  3. C12.
  4. D48.
  5. E72.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 72.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 72 (alternativa E).

A ideia por trás

Proporcionalidade descreve como duas grandezas variam juntas: se uma dobra e a outra também dobra, são diretamente proporcionais; se uma dobra e a outra cai pela metade, são inversamente proporcionais. Aqui temos duas relações encadeadas: X depende de Y, e Y depende de Z. Para descobrir como X depende de Z, precisamos combinar as duas relações, substituindo Y pela sua expressão em função de Z. O ponto-chave é que duas inversas no caminho se cancelam: X acaba sendo diretamente proporcional a Z², e não inversamente como muitos imaginam. Nesta questão, usamos os valores iniciais para achar a constante de proporcionalidade e então calculamos X para Z = 3.

O que a questão dá

  • X = 2 quando Y = 4 e Z = 1/2

  • Y = 4

  • Z = 1/2

  • X é inversamente proporcional a Y²

  • Y é inversamente proporcional a Z

O que queremos: o valor de X quando Z = 3

Passo 1 — Escrever a relação entre X e Y

A primeira informação é que X é inversamente proporcional a Y². Isso significa que o produto de X pelo quadrado de Y é sempre o mesmo número (a constante k₁). Precisamos dessa equação para depois substituir Y.

Por que esta fórmula: É a definição de inversamente proporcional: se uma grandeza é inversamente proporcional a outra, o produto delas é constante. Como é com Y², o produto é X · Y².

X⋅Y2=k1X \cdot Y^{2} = k_1

De onde vem cada valor: XX = enunciado: grandeza que queremos · YY = enunciado: grandeza dada · k1k_1 = constante a determinar

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o quadrado em Y e escrever X · Y = k₁.

Passo 2 — Escrever a relação entre Y e Z

A segunda informação é que Y é inversamente proporcional a Z. Isso nos dá outra equação com uma constante k₂. Precisamos dela para isolar Y e substituir na primeira equação.

Por que esta fórmula: Mesma definição de inversamente proporcional, agora entre Y e Z: o produto Y · Z é constante.

Y⋅Z=k2Y \cdot Z = k_2

De onde vem cada valor: YY = enunciado: grandeza dada · ZZ = enunciado: grandeza dada · k2k_2 = constante a determinar

NÃO CAIA NESSA!

Confundir e escrever Y/Z = k₂, o que seria diretamente proporcional.

Passo 3 — Isolar Y na segunda equação

Para combinar as duas relações, precisamos expressar Y em função de Z. Isolando Y na equação Y · Z = k₂, obtemos Y = k₂/Z, que será substituído na primeira equação.

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica simples: dividir ambos os lados por Z.

Y=k2ZY = \frac{k_2}{Z}

De onde vem cada valor: k2k_2 = passo 2 · ZZ = enunciado: grandeza dada

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração e escrever Y = Z/k₂.

Passo 4 — Substituir Y na primeira equação

Agora que temos Y em função de Z, substituímos na equação X · Y² = k₁. Isso elimina Y e nos dá uma relação direta entre X e Z.

Por que esta fórmula: Substituição direta: onde tinha Y, colocamos k₂/Z. Como Y está ao quadrado, o quadrado de k₂/Z é k₂²/Z².

X⋅(k2Z)2=k1X \cdot \left(\frac{k_2}{Z}\right)^{2} = k_1

De onde vem cada valor: XX = passo 1 · k2k_2 = passo 2 · ZZ = enunciado: grandeza dada · k1k_1 = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar k₂ ao quadrado também.

Passo 5 — Isolar X na equação

Queremos uma fórmula explícita para X em função de Z. Multiplicamos ambos os lados por Z² e dividimos por k₂², obtendo X = (k₁/k₂²) · Z². Isso mostra que X é diretamente proporcional a Z².

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica para isolar X: multiplicar por Z² e dividir por k₂².

X = frack_1k_2^2 · Z^2

De onde vem cada valor: k1k_1 = passo 1 · k2k_2 = passo 2 · ZZ = enunciado: grandeza dada

NÃO CAIA NESSA!

Achar que X é inversamente proporcional a Z², quando na verdade é direto.

Passo 6 — Calcular k₁ com os valores iniciais

Precisamos do valor numérico da constante k₁ para depois achar X. Usamos os valores dados: X = 2, Y = 4.

Por que esta fórmula: Substituição direta na equação do passo 1.

k1=X⋅Y2k_1 = X \cdot Y^{2}

De onde vem cada valor: XX = enunciado: X = 2 · YY = enunciado: Y = 4

k1=2⋅42=2⋅16=32=32k_1 = 2 \cdot 4^{2} = 2 \cdot 16 = 32 = \boxed{32}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 4² como 8 em vez de 16.

Passo 7 — Calcular k₂ com os valores iniciais

Também precisamos de k₂. Usamos Y = 4 e Z = 1/2 na equação do passo 2.

Por que esta fórmula: Substituição direta na equação Y · Z = k₂.

k2=Y⋅Zk_2 = Y \cdot Z

De onde vem cada valor: YY = enunciado: Y = 4 · ZZ = enunciado: Z = 1/2

k2=4⋅12=2=2k_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar 4 por 2 em vez de por 1/2, dando 8.

Passo 8 — Calcular X para Z = 3

Agora temos a fórmula X = (k₁/k₂²) · Z² e os valores das constantes. Substituímos k₁ = 32, k₂ = 2 e Z = 3 para obter o valor pedido.

Por que esta fórmula: Substituição direta na fórmula do passo 5.

X = frack_1k_2^2 · Z^2

De onde vem cada valor: k1k_1 = passo 6: 32 · k2k_2 = passo 7: 2 · ZZ = enunciado: Z = 3

X = frac322^2 · 3^2 = (32)/(4) · 9 = 8 · 9 = 72 = 72
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar Z ao quadrado e calcular 8 · 3 = 24.

Resposta: 72 (alternativa E)

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