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Questão de Matemática — Quadriláteros — FGV 2023

MatemáticaQuadriláteros
Código
fg058971
Banca
FGV
Órgão
AGENERSA - RJ
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Assistente Técnico de Regulação
As medidas, em graus, dos ângulos internos de um quadrilátero convexo são tais que, colocadas em ordem crescente, a diferença entre duas medidas consecutivas quaisquer é sempre igual a 20.Assinale a opção que indica o valor do maior ângulo desse quadrilátero.
  1. A120º.
  2. B110º.
  3. C100º.
  4. D90º.
  5. E80º.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 120º.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 120° (alternativa A).

A ideia por trás

Em um quadrilátero convexo, a soma dos quatro ângulos internos é sempre 360°, uma propriedade que vem da fórmula geral para polígonos: (n-2)×180°. Quando o enunciado diz que a diferença entre ângulos consecutivos é constante, isso define uma progressão aritmética (PA): cada termo é o anterior somado a uma razão fixa. Nesta questão, os ângulos formam uma PA de razão 20°, e precisamos encontrar o último termo, que é o maior ângulo.

O que a questão dá

  • diferença entre ângulos consecutivos = 20°

  • soma dos ângulos internos de um quadrilátero = 360°

O que queremos: o valor do maior ângulo do quadrilátero

Passo 1 — Escrever os ângulos como uma sequência

Como a diferença entre ângulos consecutivos é sempre 20°, eles formam uma progressão aritmética. Isso significa que, se o menor ângulo é x, os próximos são x+20, x+40 e x+60. Escrever assim transforma o problema em uma equação.

Por que esta fórmula: A definição de progressão aritmética: cada termo é o anterior mais a razão (20°).

x,  x+20,  x+40,  x+60x, \; x+20, \; x+40, \; x+60

De onde vem cada valor: xx = menor ângulo (incógnita) · 2020 = enunciado: diferença entre consecutivos = 20°

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que são quatro termos e usar apenas três.

Passo 2 — Montar a equação da soma

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360°. Somando os quatro termos da sequência e igualando a 360°, obtemos uma equação para achar x.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)×180°. Para n=4, dá 360°.

x+(x+20)+(x+40)+(x+60)=360x + (x+20) + (x+40) + (x+60) = 360

De onde vem cada valor: x,x+20,x+40,x+60x, x+20, x+40, x+60 = passo 1 · 360360 = propriedade do quadrilátero

x+(x+20)+(x+40)+(x+60)=360x + (x+20) + (x+40) + (x+60) = 360
NÃO CAIA NESSA!

Usar 180° em vez de 360° (soma de triângulo).

Passo 3 — Simplificar a equação

Para resolver, precisamos combinar os termos semelhantes: os quatro x somam 4x, e as constantes 20+40+60 somam 120.

Por que esta fórmula: Álgebra básica: somar coeficientes de x e constantes separadamente.

4x+120=3604x + 120 = 360

De onde vem cada valor: 4x4x = passo 2: x + x + x + x · 120120 = passo 2: 20 + 40 + 60

4x+120=3604x + 120 = 360
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma das constantes (20+40+60=120, não 100).

Passo 4 — Isolar x

Precisamos do valor do menor ângulo para calcular o maior. Subtraímos 120 de ambos os lados para deixar 4x sozinho.

Por que esta fórmula: Operação inversa: subtrair o termo constante.

4x=360−1204x = 360 - 120

De onde vem cada valor: 360360 = passo 3 · 120120 = passo 3

4x=2404x = 240
4x=2404x = \boxed{240}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 120 dos dois lados.

Passo 5 — Dividir para achar x

Com 4x = 240, dividimos por 4 para obter o valor de x, que é o menor ângulo.

Por que esta fórmula: Operação inversa da multiplicação.

x=2404x = \frac{240}{4}

De onde vem cada valor: 240240 = passo 4 · 44 = coeficiente de x

x=60=60 ∘x = 60 = \boxed{60\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir errado (240/4 = 60, não 80).

Passo 6 — Calcular o maior ângulo

O maior ângulo é o último termo da sequência, x+60. Com x=60, somamos 60.

Por que esta fórmula: O último termo da PA é x + 3×20 = x+60.

x+60x + 60

De onde vem cada valor: xx = passo 5: 60° · 6060 = passo 1: 3×20

60+60=120 ∘60 + 60 = \boxed{120\ ^\circ}
NÃO CAIA NESSA!

Usar x+40 (terceiro termo) em vez de x+60.

Resposta: 120° (alternativa A)

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